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Uma lógica para chegar à(s) solução(ões) é usar as condições necessárias para um número ser divisível por 2, 3, 4 ,5, etc para reduzir o número de casos a estudar a um número suficientemente pequeno para trabalhar.
Seja N um número representado em base decimal por abcdefghi com a condição
(1) {a,b,c,d,e,f,g,h,i}={1,2,3,4,5,6,7,8,9} (não necessariamente por ordem)
mais as condições:
(2) ab é múltiplo de 2 (logo b é par);
(3) abc é múltiplo de 3 (logo a+b+c é múltiplo de 3);
(4) abcd é múltiplo de 4 (logo cd é múltiplo de 4);
(5) abcde é múltiplo de 5 (logo e=0 ou 5);
(6) abcdef é múltiplo de 6 (logo a+b+c+d+e+f é múltiplo de 3 e f é par);
(7) abcdefg é múltiplo de 7 (existe uma condição algo complicada mas não vamos precisar);
(8) abcdefgh é múltiplo de 8 (logo fgh é múltiplo de 8);
(9) abcdefghi é múltiplo de 9 (logo a+b+c+d+e+f+g+h+i é múltiplo de 9).
A condição (9) é redundante pois, pela condição (1), a+b+c+d+e+f+g+h+i=1+2+3+...+9=45 é múltiplo de 9.
Pelas condições (5) e (1) temos e=5.
Pelas condições (2), (4), (6) e (8) temos que b,d,f,g são pares logo, com a condição (1), temos {b,d,f,g}={2,4,6,8}. Logo {a,c,g,i}={1,3,7,9}.
Sendo, pela condição (4), cd mútiplo de 4 com c ímpar temos que d=2 ou 6. Pelo mesmo raciocínio temos também que h=2 ou 6. Ou seja, {d,h}={2,6}. Além disso, como pela condição (8), fgh é múltiplo de 8 e f é par temos que gh é múltiplo de 8 logo gh=16, 32, 72 ou 96 (os únicos casos em que g=1,3,7 ou 9).
Sabendo isto podemos restringir a nossa busca a quatro casos:
Caso A1 (em que h=2 e g=3), caso A2 (em que h=2 e g=7), caso B1 (em que h=6 e g=1) e caso B2 (em que h=6 e g=9).
Vou fazer o caso A2 (onde se encontra a solução que achou) e deixo os restante para quem quiser.
Caso A2:
Seja h=2 e g=7, e também sabemos que e=5. Como h=2 temos que d=6. Da condições (3) e (6) temos que d+e+f=6+5+f=11+f é múltiplo de 3 (com f par), logo f=4 e portanto resta que b=8. Da condição (3) temos que a+b+c=a+8+c é múltiplo de 3 (com a,b=1,3 ou 9), logo (a,c)=(1,3), (1,9), (3,1) ou (9,1). Agora é só verificar que dos números 1836547, 1896547, 3816547 e 9816547 só o terceiro é que é múltiplo de 7 (o que dá a solução 381654729).
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