Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 28 mar 2024, 10:10

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 5 mensagens ] 
Autor Mensagem
MensagemEnviado: 24 mar 2020, 20:20 
Offline

Registado: 27 mar 2018, 00:31
Mensagens: 5
Localização: Caxias do Sul
Agradeceu: 2 vezes
Foi agradecido: 2 vezes
Olá, amigos(as)! Tudo bem?

Tenho hoje uma dúvida muito simples, mas que me causou bastante trabalho. Podem me ajudar, por favor?

Trata-se da proposição citada no título. Vou repeti-la, para poder detalhar melhor minha dúvida:

Se \(x\) é um número real, então \(x² ≥ -x\)

(Para maiores informações, essa proposição se encontra nos exercícios do Capítulo 1 - Elementos da Linguagem e da Lógica Matemática, da obra "Cálculo a uma variável - Uma introdução ao cálculo", de Iaci Malta, Sinesio Pesco e Hélio Lopes.)

Minha dúvida recai mais sobre o modo de raciocinar(demonstrar o valor lógico) frente a essa proposição do que na resposta em si(embora ela também seja uma informação importante).

Abaixo vou colocar os passos lógicos que dei, e espero que vocês me auxiliem a validar essa sequência, pois é em relação a ela que me sinto inseguro.

Se \(x² ≥ -x\), então a proposição é verdadeira para quaisquer valores fora do intervalo \(-1 < x < 0\), uma vez que

Se \(x = -\frac{1}{2} \Longrightarrow (-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} \Longrightarrow \frac{1}{4} \le (\frac{1}{2})\)

Ou seja, \(-\frac{1}{2}\) é um contraexemplo para a proposição. Estou correto até aqui?

Bem, abaixo eu vou dar um exemplo para a proposição, pois ela vai abrir as questões que me incomodam:

Se \(x = 5\), então \(5^2 \ge - (-5)\), de modo que \(25 \ge 5\). Isso está correto?

Pois bem, se a proposição acima está correta, é possível escrevê-la da seguinte forma?

Se \(x² ≥ -x\), então \(x ≥ -\sqrt{x}\) ?

Partindo daí, utilizando o mesmo valor (5) como exemplo, é válido afirmar que

\(5 \ge - \sqrt{5}\) ?

E se eu utilizasse o seu oposto, haveria solução dentro do conjunto \({R}\) ?

Questiono isso pois imagino que, se \(x = -5\), então

\((-5 )\ge - \sqrt{-5}\)

Isso faz algum sentido?

Essa questão me deixou muito confuso. Será que estou esquecendo ou confundindo alguma propriedade? Onde está a falha no meu raciocínio? Podem me auxilar, por favor?

Perdão pelo post imenso.

Até breve!

_________________
Rafa JP

"Não é feio ser ignorante. Feio é ser ignorante, saber-se ignorante e permanecer ignorante."
Jeff. C. S


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 28 mar 2020, 20:55 
Offline

Registado: 10 nov 2012, 00:19
Mensagens: 1432
Localização: Mogi das Cruzes - SP - Brasil
Agradeceu: 47 vezes
Foi agradecido: 452 vezes
Creio que resolver esta questão é mais simples. Mas isto não invalida a análise que você fez.

A resposta para a avaliação lógica da sentença "Se x é um número real, então x² ≥ -x" é que seu valor lógico é Falso.
E para tanto, basta você apresentar um contraexemplo, isto é, apresentar um número real para o qual ela não vale. Isso você já analisou e pode escolher vários.

_________________
Fraol
Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 29 mar 2020, 01:53 
Offline

Registado: 27 mar 2018, 00:31
Mensagens: 5
Localização: Caxias do Sul
Agradeceu: 2 vezes
Foi agradecido: 2 vezes
Olá!

Obrigado pelo retorno, Fraol! Agradeço muito o seu auxílio!

Se não for muita insistência, creio que seria também de grande valia se pudesse compartilhar conosco seu modo de resolução do problema. Como descrito no post, são os raciocínios, as deduções que realizei que me causam dúvidas, principalmente em relação a esses dois pontos:

1 - a dedução abaixo está correta?

Se \(x^2\) \(\geq\) \(-x\) então \(x\) \(\geq\) \(- \sqrt{x}\)

2 - Utilizando-se de \(x = -5\), é correto considerar a proposição abaixo?

\((-5) \geq - \sqrt{-5}\)

Me atenho a esses pontos por que, embora seja uma proposição falsa, me interessa o raciocínio que devemos elaborar em relação a ela. Então, sou muito agradecido a todos(as) que puderem demonstrar o modo como avaliariam a proposição e determinariam seu valor lógico!

Já me adianto e peço desculpas pela insistência no tópico.

Até breve!

_________________
Rafa JP

"Não é feio ser ignorante. Feio é ser ignorante, saber-se ignorante e permanecer ignorante."
Jeff. C. S


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 03 abr 2020, 00:02 
Offline

Registado: 10 nov 2012, 00:19
Mensagens: 1432
Localização: Mogi das Cruzes - SP - Brasil
Agradeceu: 47 vezes
Foi agradecido: 452 vezes
Olá,

Uma de suas questões é:

"1 - a dedução abaixo está correta?

Se \(x^2 \geq -x\) então \(x \geq -\sqrt{x}\) "

Aqui não temos uma dedução, temos um proposição, P1, com uma hipótese, \(H: x^2 \geq -x\), e uma tese, \(T: x \geq -\sqrt{x}\).

A título de exemplo para a questão original, vou delinear uma demontração para esta proposição. Isto significa que queremos mostrar que todo objeto que satisfaz H, também satisfaz T. Em termos de conjuntos queremos mostrar que \(H \subset T\).

Vamos ver quem são os elementos de H: Resolvendo a inequação \(x^2 \geq -x\), temos que \(H = (-\infty, -1) \cup [0, \infty)\).

Agora, vejamos quem são os elementos de T: Resolvendo a inequação \(x \geq -\sqrt{x}\), temos que \(T = [0, \infty)\).

Claramente, H não está contido em T. Portanto, a nossa proposição P1 é falsa. Os contraexemplos são todos os reais em \((-\infty, -1)\).

Usando o mesmo raciocínio para a questão original, concluiremos que \(R\) não é subconjunto de \([0, \infty)\).

É isso.

_________________
Fraol
Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 06 abr 2020, 01:52 
Offline

Registado: 27 mar 2018, 00:31
Mensagens: 5
Localização: Caxias do Sul
Agradeceu: 2 vezes
Foi agradecido: 2 vezes
Muito obrigado pela imensa ajuda e esclarecimento, Fraol! Sua explicação está bem clara!

Obrigado!

_________________
Rafa JP

"Não é feio ser ignorante. Feio é ser ignorante, saber-se ignorante e permanecer ignorante."
Jeff. C. S


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 5 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 44 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para:  
cron