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Considere uma PG em que a razão é um número natural não nulo, sabendo que o logaritmo do enésimo termo na base igual a razão da sequência é igual a 6, que o logaritmo do produto dos n primeiros termos na base igual a razão da sequência é igual a 20 e que o produto entre o primeiro e o enésimo termo da sequência é igual a 243, determine o valor da soma dos n primeiros termos dessa sequência.

Olá FISMAQUI!

De acordo com o enunciado, temos:

\(\bullet \qquad \mathsf{\log_q a_n = 6 \Rightarrow a_n = q^6 \ \qquad \quad \quad (i)}\)

\(\bullet \qquad \mathsf{\log_q \left ( a_1 \cdot a_2 \cdot \ ... \ \cdot a_n \right )= 20 \qquad (ii)}\)

\(\bullet \qquad \mathsf{a_1 \cdot a_n = 243 \qquad \qquad \qquad \qquad (iii)}\)


Substituindo \(\mathsf{(i)}\) na fórmula \(\mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}}\)...

\(\mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}}\)

\(\mathsf{q^6 = a_1 \cdot q^{n - 1}}\)

\(\mathsf{a_1 = \frac{q^6}{q^{n - 1}}}\)

\(\mathsf{a_1 = q^{6 - n + 1}}\)

\(\boxed{\mathsf{a_1 = q^{7 - n}}}\)


Substituindo em \(\mathsf{(iii)}\),

\(\mathsf{a_1 \cdot a_n = 243}\)

\(\mathsf{a_1 \cdot \left ( a_1 \cdot q^{n - 1} \right ) = 3^5}\)

\(\mathsf{\left ( a_1 \right )^2 \cdot q^{n - 1} = 3^5}\)

\(\mathsf{\left ( q^{7 - n} \right )^2 \cdot q^{n - 1} = 3^5}\)

\(\mathsf{q^{2(7 - n) + n - 1} = 3^5}\)

\(\mathsf{q^{13 - n} = 3^5}\)

Com efeito, \(\boxed{\mathsf{q = 3}}\) e \(\boxed{\mathsf{n = 8}}\).

Ademais, teremos:

\(\mathsf{a_1 = q^{7 - n}}\)

\(\mathsf{a_1 = 3^{7 - 8}}\)

\(\boxed{\mathsf{a_1 = \frac{1}{3}}}\)


Por conseguinte,

\(\mathsf{S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n}\)

\(\mathsf{S_n = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + ... + a_1 \cdot q^{n - 1}}\)

\(\mathsf{S_n = a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} \right ) \qquad \qquad \times (q}\)

\(\mathsf{q \cdot S_n = q \cdot a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} \right )}\)

\(\mathsf{q \cdot S_n = a_1 \cdot \left ( q + q^2 + ... + q^{n - 1} + q^n \right )}\)


Fazendo \(\mathsf{S_n - q \cdot S_n}\),

\(\mathsf{S_n - q \cdot S_n = a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} \right ) - a_1 \cdot \left (q + q^2 + ... + q^{n - 1} + q^n \right )}\)

\(\mathsf{S_n \cdot (1 - q) = a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} - q - q^2 - ... - q^{n - 1} - q^n \right )}\)

\(\mathsf{S_n \cdot (1 - q) = a_1 \cdot \left ( 1 - q^n \right )}\)

\(\mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot \left ( 1 - q^n \right )}{1 - q}}\)

\(\mathsf{S_8 = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \left ( 1 - 3^8 \right )}{1 - 3}}\)

\(\mathsf{S_8 = \frac{1}{3} \cdot \dfrac{\left ( 1 - 3^8 \right )}{- 2}}\)

\(\boxed{\boxed{\mathsf{S_8 = \dfrac{1}{6} \cdot \left ( 3^8 - 1 \right )}}}\)

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Daniel Ferreira
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Muito obrigado pela ajuda