Duvida numa aplicação linear

[Polmax]

Seja fe1; e2; e3; e4g a base canónica de R4. Se f é aplicação linear denida em R4
por f(e1) = e1 + e2, f(e2) = e2 3e3, f(e3) = e1 e f(e4) = e4, então


a) f(x; y; z; t) = (x + z; x + y; 3y; t), para qualquer (x; y; z; t) ∊ R4

alguém me pode explicar porque essa afirmação é verdadeira?

[josesousa]

f(e1) = e1 + e2, f(e2) = e2 3e3, f(e3) = e1 e f(e4) = e4, então


\(f(x; y; z; t) = f(x.e_1+y.e_2+z.e_3+t.e_4)=\)
Por ser linear...
\(f(x.e_1)+f(y.e_2)+f(z.e_3)+f(t.e_4)=\)
E mais uma vez, pela linearidade
\(x.f(e_1)+y.f(e_2)+t.f(e_3)+t.f(e_4)=\)
\(x.(e_1+e_2)+y.(e_2+3.e_3)+z.(e_1)+t.e_4=\)
\((x + z; x + y; 3y; t)\)