Provar que 1/3<log(1,5)<1/2
14 jan 2013, 22:49
Olá pessoal,
estou um pouco perdido nesta pergunta pois não sei como fazer esta demonstração
Como provo que
\(\frac{1}{3}<\log(1.5)<\frac{1}{2}\)
Muito obrigado pela ajuda
estou um pouco perdido nesta pergunta pois não sei como fazer esta demonstração
Como provo que
\(\frac{1}{3}<\log(1.5)<\frac{1}{2}\)
Muito obrigado pela ajuda
Re: Provar que 1/3<log(1,5)<1/2
14 jan 2013, 23:08
Olá, interessante...
podemos tentar desenvolver a série de Taylor da função \(log(x)\) em torno do ponto 1
A série de Taylor refere
\(\sum_{n=0} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}=f(a)+\sum_{n=1} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}\)
ora sendo \(f(x)=log(x)\)
\(f^{(1)}=\frac{1}{x} \\ f^{(2)}=-\frac{1}{x^2}\\ f^{(3)}=\frac{2}{x^3}\\ f^{(4)}=-\frac{3\times 2}{x^4}\\ f^{(5)}=\frac{4\times 3 \times 2}{x^5}\\ ...\\ ...\\ f^{(n)}=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\)
fazendo \(a=1\)
ficamos com
\(log(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}\\ \\ \\ x=1.5 \\ \\ log(1.5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n2^n}\\ \\ \\ separando\ em \ pares \ e \ impares \\ \\ log(1.5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)4^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n4^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{(2n-1)(2n)4^n}\)
não sei se é o caminho certo mas espero ter ajudado, por certo há forma mais fácil...
humm, talvez através de uma função de \(\R^2\) tipo \(f(x,y)=log(x+y)\) e vemos em torno do ponto \((1;0.5)\)
podemos tentar desenvolver a série de Taylor da função \(log(x)\) em torno do ponto 1
A série de Taylor refere
\(\sum_{n=0} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}=f(a)+\sum_{n=1} ^ {\infty } \frac {f^{(n)}(a)}{n!} \, (x-a)^{n}\)
ora sendo \(f(x)=log(x)\)
\(f^{(1)}=\frac{1}{x} \\ f^{(2)}=-\frac{1}{x^2}\\ f^{(3)}=\frac{2}{x^3}\\ f^{(4)}=-\frac{3\times 2}{x^4}\\ f^{(5)}=\frac{4\times 3 \times 2}{x^5}\\ ...\\ ...\\ f^{(n)}=\frac{(-1)^{n+1}(n-1)!}{x^n}\)
fazendo \(a=1\)
ficamos com
\(log(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^n}{n}\\ \\ \\ x=1.5 \\ \\ log(1.5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n2^n}\\ \\ \\ separando\ em \ pares \ e \ impares \\ \\ log(1.5)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{(2n-1)4^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n4^n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+1}{(2n-1)(2n)4^n}\)
não sei se é o caminho certo mas espero ter ajudado, por certo há forma mais fácil...
humm, talvez através de uma função de \(\R^2\) tipo \(f(x,y)=log(x+y)\) e vemos em torno do ponto \((1;0.5)\)
Re: Provar que 1/3<log(1,5)<1/2
15 jan 2013, 00:15
Tem ai um erro.. é entre 1/3 e que?
Re: Provar que 1/3<log(1,5)<1/2
15 jan 2013, 00:19
Já vi, 1/3 e 1/2... mas que matéria é? Séries de Taylor?
Re: Provar que 1/3<log(1,5)<1/2
15 jan 2013, 00:34
Era o que estava no assunto entre 1/3 e 1/2
Abraços
Abraços
Re: Provar que 1/3<log(1,5)<1/2
15 jan 2013, 01:51
epah, acho que compliquei
\(\frac{1}{3}<\log(1,5)<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}<\log\left(\frac{3}{2}\right)<\frac{1}{2}\\ \sqrt[3]{e}<\frac{3}{2}<\sqrt{e}\)
agora separa-se em duas
\(\sqrt[3]{e}<\frac{3}{2}\\ e<\frac{27}{8}\\ \\ e<\frac{24+3}{8}\\ \\ e<3+\frac{3}{8}\)
e também
\(\frac{3}{2}<\sqrt{e}\\ \frac{9}{4}<e\\ \\ 2,25<e\)
\(\frac{1}{3}<\log(1,5)<\frac{1}{2}\\ \frac{1}{3}<\log\left(\frac{3}{2}\right)<\frac{1}{2}\\ \sqrt[3]{e}<\frac{3}{2}<\sqrt{e}\)
agora separa-se em duas
\(\sqrt[3]{e}<\frac{3}{2}\\ e<\frac{27}{8}\\ \\ e<\frac{24+3}{8}\\ \\ e<3+\frac{3}{8}\)
e também
\(\frac{3}{2}<\sqrt{e}\\ \frac{9}{4}<e\\ \\ 2,25<e\)