Cálculo de exercício
20 jan 2013, 12:47
Bom dia!
Estou com dificuldades em perceber o cálculo do seguinte exercício:
\(a, b, c \in \mathbb{R},\\ \\ tais\ que \\ a^{2} + b^{2} + c^{2}=1 \\ \\ A=\begin{pmatrix} a^{2}-1 & ab & ac\\ ab & b^{2}-1 & bc\\ ac & bc & c^{2}-1 \end{pmatrix}\\ \\ Calcule A^{n}\ para\ n\geq 1 \\ Sugestao: escreva\ A\ como\ A=B-I, onde\ I\ e\ a\ matriz\ identidade.\)
Estou com dificuldades em perceber o cálculo do seguinte exercício:
\(a, b, c \in \mathbb{R},\\ \\ tais\ que \\ a^{2} + b^{2} + c^{2}=1 \\ \\ A=\begin{pmatrix} a^{2}-1 & ab & ac\\ ab & b^{2}-1 & bc\\ ac & bc & c^{2}-1 \end{pmatrix}\\ \\ Calcule A^{n}\ para\ n\geq 1 \\ Sugestao: escreva\ A\ como\ A=B-I, onde\ I\ e\ a\ matriz\ identidade.\)
Re: Cálculo de exercício
20 jan 2013, 23:11
Boas
esta é puxadita
\(A^n=(B-I)^n\)
Ora podes agora tentar diagonalizar a matriz \(B=P.D.P^{-1}\) onde \(D\) é uma matriz diagonal com os valores próprios, ou seja
\(D=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
sendo
\(B=\begin{bmatrix} a^2 & ab & ac\\ ab & b^2 & bc\\ ac & bc & c^2 \end{bmatrix}\)
Se reparares os valores próprios de B são \((0,0,a^2+b^2+c^2)=(0,0,1)\)
Então \(B^n=(P.D.P^{-1})^n=(P.D.P^{-1})(P.D.P^{-1})....(P.D.P^{-1})=PD^nP^{-1}\)
ora sabendo que \(D^n=D\) então \(B^n=B\)
agora sabes que
\(A^2=(B-I)^2=B^2-2B+I=B-2B+I=-B+I=-(B-I)=-A\)
\(A^3=(B-I)^3=(B-I)^2(B-I)=-(B-I)(B-I)=-(B-I)^2=(B-I)=A\)
ora \(A^n=(-1)^{n+1}A\)
se as contas não me falham
Saudações pitagóricas
esta é puxadita
\(A^n=(B-I)^n\)
Ora podes agora tentar diagonalizar a matriz \(B=P.D.P^{-1}\) onde \(D\) é uma matriz diagonal com os valores próprios, ou seja
\(D=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)
sendo
\(B=\begin{bmatrix} a^2 & ab & ac\\ ab & b^2 & bc\\ ac & bc & c^2 \end{bmatrix}\)
Se reparares os valores próprios de B são \((0,0,a^2+b^2+c^2)=(0,0,1)\)
Então \(B^n=(P.D.P^{-1})^n=(P.D.P^{-1})(P.D.P^{-1})....(P.D.P^{-1})=PD^nP^{-1}\)
ora sabendo que \(D^n=D\) então \(B^n=B\)
agora sabes que
\(A^2=(B-I)^2=B^2-2B+I=B-2B+I=-B+I=-(B-I)=-A\)
\(A^3=(B-I)^3=(B-I)^2(B-I)=-(B-I)(B-I)=-(B-I)^2=(B-I)=A\)
ora \(A^n=(-1)^{n+1}A\)
se as contas não me falham
Saudações pitagóricas
Re: Cálculo de exercício
20 jan 2013, 23:35
Obrigada
Amanhã, vou colocar em prática a dica!
Amanhã, vou colocar em prática a dica!