Quantos são os pares (a,b) de números naturais não nulos pr

[Leitão]

Quantos são os pares (a,b) de números naturais não nulos primos entre sim que a+b =1000?

[Rui Carpentier]

Repare que a e b são primos entre si se e só se a e 1000 são primos entre si. Sendo assim, o número de pares (a,b) nas condições exigidas é igual ao número de naturais entre 1 e 1000 que são coprimos com 1000. Ou seja, são todos excepto os que são múltiplos de 2 ou múltiplos de 5. Como para quaisquer conjuntos \(A,B\subseteq C\) se tem \(|C-(A\cup B)|=|C|-|A|-|B|+|A\cap B|\) e tomando por A o conjunto dos múltiplos de 2 menores que 1000, B o conjunto dos múltiplos de 2 menores que 1000 e C o conjunto naturais menores que 1000, temos que o número de naturais não nulos entre 1 e 1000 que são coprimos com 1000 é 1000-500-200+100=400.
Note-se que \(A\cap B\) é o conjunto dos múltiplos de 10 menores que 1000.