Área total de um paralelepípedo retangular, sabendo diagonal

[vinipro7]

Determine a área total de um paralelepípedo retangular, sabendo que sua diagonal mede 25 √ 2 cm e que a soma de suas dimensões vale 60 cm.

[João P. Ferreira]

Lembre-se da fórmula da diagonal de um paralelepípedo, que pelo teorema de Pitágoras, dá

\(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)

tendo como arestas, \(a\), \(b\) e \(c\)

A área total será
(ou seja, tem 6 lados, três pares de lados, sendo cada par diametralmente oposto)

\(A=2(a^2+b^2+c^2)=2D^2\)

[Sobolev]

A partir dos dados do problema sabemos que

\(a^2+b^2+c^2 = (25 \sqrt{2})^2 = 1250
a+b+c =60 \Rightarrow (a+b+c)^2 = 3600\)

Por outro lado

\((a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc)\)

Assim, como a area pretendida é dada por \(2(ab+ac+bc)\)
,
\(3600 = 1250 + Area \Leftrightarrow Area = 2350\)

[João P. Ferreira]

A partir dos dados do problema sabemos que

\(a^2+b^2+c^2 = (25 \sqrt{2})^2 = 1250
a+b+c =60 \Rightarrow (a+b+c)^2 = 3600\)

Por outro lado

\((a+b+c)^2 = (a^2+b^2+c^2) + 2(ab+ac+bc)\)

Assim, como a area pretendida é dada por \(2(ab+ac+bc)\)
,
\(3600 = 1250 + Area \Leftrightarrow Area = 2350\)

Muito obrigado pela correção caro Sobolev

Fiz confusão, pois a área total não é \(2(a^2+b^2+c^2)\) mas sim \(2(ab+ac+bc)\)

Saudações pitagóricas