Prova Calculo 2. Urgencia

[caiormagno]

Galera. To com umas questões pra levar pra prova amanhã. Tem como me ajudar?

1) O comprimento da diagonal de uma caixa retangular deve ser 32. Qual é o maior volume?

Qualquer uma ja ajuda galera. Obrigado

[João P. Ferreira]

Olá

Se uma caixa tiver como arestas \(a, b, c\) então pelo teorema de Pitágoras a sua diagonal é

\(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=32\)

O volume é dado por \(V=a.b.c\)

Pode-se demonstrar por exercícios de otimização que o maior volume é quando se trata de um cubo, ou seja \(a=b=c\)
(pense no caso mais simples, num retângulo e quadrado)

Então

\(D=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3a^2}=\sqrt{3}a=32\)

logo \(a=\frac{32}{\sqrt{3}}\)

o volume máximo é então dado por

\(V=a^3=\left(\frac{32}{\sqrt{3}}\right)^3=\frac{32^3}{3\sqrt{3}}\)