Compreender essa inequação logaritmica

[kazemaru19]

Não estou conseguindo achar o resultado. Agradeço a ajuda e a atenção

Anexos

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[Fourier]

Dada a equação \(log_{3}^{2}x - 3log_{3}x + 2 > 0\), considere a substituição \(log_{3}x =: b\). Donde que a equação original fica agora com a forma de uma equação do 2º grau: \(b^{2}-3b+2>0\). Aplicando a fórmula resolvente determinamos os zeros que ocorrem para \(b = 1\) e \(b = 2\), como o coeficiente do termo de maior grau é 1, é positivo, segue que geométricamente temos uma parábola de concavidade voltada para cima e raízes em 1 e 2, pelo que o conjunto solução de \(b^{2}-3b+2>0\), é \(\left \{ b:b<1 \vee b>2 \right \}\), onde a parábola toma valores positivos.

Agora retomamos a substituição \(log_{3}x =: b\) e como \(log_{3}x = \frac{log_{10}x}{log_{10}3}\), segue que \(log_{3}x =: b\) equivale a \(b = \frac{log_{10}x}{log_{10}3}\), resolvendo em ordem a \(x\), obtemos \(x = 3^{b}\).

Ora \(-\infty <b<1 \Rightarrow 0<3^{b}<3\Rightarrow 0<x<3\) bem como \(2<b<+\infty \Rightarrow 9<3^b<+\infty \Rightarrow 9<x<+\infty\) e portanto obtemos que o conjunto solução da equação original é \(\left \{ x:0<x<3\vee 9<x<+\infty \right \}\), em forma de conjunto.

Cumprimentos!!

[kazemaru19]

"Ora \(-\infty <b<1 \Rightarrow 0<3^{b}<3\Rightarrow 0<x<3\) bem como \(2<b<+\infty \Rightarrow 9<3^b<+\infty \Rightarrow 9<x<+\infty\) e portanto obtemos que o conjunto solução da equação original é \(\left \{ x:0<x<3\vee 9<x<+\infty \right \}\), em forma de conjunto."

Olá. Agradeço a resposta, foi me grande ajuda. Mas essa parte eu não compreendi direito. Tem como dar uma explicação melhor? Grato

[João P. Ferreira]

Dada a equação \(log_{3}^{2}x - 3log_{3}x + 2 > 0\), considere a substituição \(log_{3}x =: b\). Donde que a equação original fica agora com a forma de uma equação do 2º grau: \(b^{2}-3b+2>0\). Aplicando a fórmula resolvente determinamos os zeros que ocorrem para \(b = 1\) e \(b = 2\), como o coeficiente do termo de maior grau é 1, é positivo, segue que geométricamente temos uma parábola de concavidade voltada para cima e raízes em 1 e 2, pelo que o conjunto solução de \(b^{2}-3b+2>0\), é \(\left \{ b:b<1 \vee b>2 \right \}\), onde a parábola toma valores positivos.

Agora retomamos a substituição \(log_{3}x =: b\) e como \(log_{3}x = \frac{log_{10}x}{log_{10}3}\), segue que \(log_{3}x =: b\) equivale a \(b = \frac{log_{10}x}{log_{10}3}\), resolvendo em ordem a \(x\), obtemos \(x = 3^{b}\).

Ora \(-\infty <b<1 \Rightarrow 0<3^{b}<3\Rightarrow 0<x<3\) bem como \(2<b<+\infty \Rightarrow 9<3^b<+\infty \Rightarrow 9<x<+\infty\) e portanto obtemos que o conjunto solução da equação original é \(\left \{ x:0<x<3\vee 9<x<+\infty \right \}\), em forma de conjunto.

Cumprimentos!!

Caro Fourier, seja muito bem-vindo

Muito obrigado pela contribuição, esperemos que seja a primeira de muitas

Saudações pitagóricas

[João P. Ferreira]

"Ora \(-\infty <b<1 \Rightarrow 0<3^{b}<3\Rightarrow 0<x<3\) bem como \(2<b<+\infty \Rightarrow 9<3^b<+\infty \Rightarrow 9<x<+\infty\) e portanto obtemos que o conjunto solução da equação original é \(\left \{ x:0<x<3\vee 9<x<+\infty \right \}\), em forma de conjunto."

Olá. Agradeço a resposta, foi me grande ajuda. Mas essa parte eu não compreendi direito. Tem como dar uma explicação melhor? Grato

Repare que se tem

\(-\infty <b<1\)

pode pôr o 3 a elevar cada membro da inequação aplicando a função \(3^x\)
(como esta função é sempre crescente o sinal não muda)

então fica-se com

\(3^{-\infty} <3^b<3^1\)

Como \(\lim_{x\to -\infty}3^x=0\) e \(3^{1}={3}\) então

\(0<3^{b}<3\)

como \(x=3^b\)

\(0<x<3\)

o mesmo raciocínio para a outra inequação...

[kazemaru19]

"Ora \(-\infty <b<1 \Rightarrow 0<3^{b}<3\Rightarrow 0<x<3\) bem como \(2<b<+\infty \Rightarrow 9<3^b<+\infty \Rightarrow 9<x<+\infty\) e portanto obtemos que o conjunto solução da equação original é \(\left \{ x:0<x<3\vee 9<x<+\infty \right \}\), em forma de conjunto."

Olá. Agradeço a resposta, foi me grande ajuda. Mas essa parte eu não compreendi direito. Tem como dar uma explicação melhor? Grato

Repare que se tem

\(-\infty <b<1\)

pode pôr o 3 a elevar cada membro da inequação aplicando a função \(3^x\)
(como esta função é sempre crescente o sinal não muda)

então fica-se com

\(3^{-\infty} <3^b<3^1\)

Como \(\lim_{x\to -\infty}3^x=0\) e \(3^{1}={3}\) então

\(0<3^{b}<3\)

como \(x=3^b\)

\(0<x<3\)

o mesmo raciocínio para a outra inequação...

A sim, entendi esse conceito. Então, logo, 2^+infinito seria zero, mas como 9 não é menor que zero, podemos deixar somente x>9, correto?

Obrigado pela resposta xD

[João P. Ferreira]

não

\(2^{+\infty}=+\infty\)

\(2^{-\infty}=0\)

mas na segunda equação o 2 nao é a base, mas sim o expoente, ou seja \(3^2={9}\)

[Sobolev]

Talvez de forma mais simples... Existem duas condições a verificar (em disjunção):

I.
\(b < 1 \Leftrightarrow \log_3 x < 1 \Leftrightarrow \log_3 x < \log_3 3 \Leftrightarrow x < 3\)

naturalmente x deve ser estritamente positivo, pelo que a primeira condição é equivalente a \(x \in ]0 , 3[\).

II.
\(b > 2 \Leftrightarrow \lob_3 x > 2 \Leftrightarrow \log_3 x > \log_3 (3^2) \Leftrightarrow x > 9\)

Finalmente o conjunto solução será \(x \in ]0,3[ \cup ]9, + \infty[\)

[kazemaru19]

Muito grato pelas respostas