Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Por favor, ajudem-me a provar que se \(x=b!\left ( \frac{a}{b} - \sum_{n=0}^{b}\frac{1}{n!}\right )\), então \(x\) é inteiro positivo.

Bom dia,

Supondo \(a\) e \(b\) sejam inteiros, então se você distribuir o \(b!\) para dentro dos parêntesis você terá um conjunto de parcelas com essa cara:

\(x = \frac{ab!}{b} - \frac{b!}{0!} - \frac{b!}{1!} - \frac{b!}{2!} - \frac{b!}{3!} - ... - \frac{b!}{b!}\)

= \(x = a \cdot (b-1)! - b! - b! - \frac{b!}{2!} - \frac{b!}{3!} - ... - 1\)

Observe que tanto a primeira como as demais parcelas resumem-se ao produto de números inteiros então a diferença desses produtos também é inteiro.

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Fraol
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Boa tarde.
De acordo, mas ainda assim não é evidente que x seja maior do que zero.

Tem razão! e não haveria nenhuma outra hipótese para nos ajudar?

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Fraol
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O que eu quero é provar que o número \(e\) é irracional. Suponho, por absurdo, que \(e = \frac{a}{b}\) é racional, com \(a, b \in \mathbb N\). Seja \(x=b!\left ( e - \sum_{n=0}^{b}\frac{1}{n!} \right )\). Em tese, desta equação resulta que x é um inteiro positivo ( esta é minha dificuldade, no momento). Por outro lado, usando que \(e - \sum_{n=0}^{b}\frac{1}{n!}=\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{1}{n!}\), concluo que 0<x<1, contradizendo a hipótese de que \(e\) é racional.

Não sei se vai ajudar . Como em cada parcela \(n \leq b\) ,concluímos que existe algum natural \(k\) tal que \(n +k = b\) para cada \(n\in\{0,1 ,...,b\}\).

Daí ,

\(\frac{b!}{n!} = \frac{(n+k)!}{n!} = \frac{1 \cdot 2 \cdots n!}{n!} = (k-1)\cdot (k-2) \cdots 1 = ((b-n-1)\cdot ((b-n-2)\cdots 1\) .

Pensei de outra forma tmabém :

Como estamos supondo que existem \(a,b\) naturais tais que \(e = a/b\) .

Então \(\frac{a}{b} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) .

Reescrevendo \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\) como \(\sum_{n=0}^{b} \frac{1}{n!} + \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}\) e multiplicando ambos membros por \(b!\) ,segue


\((b-1)!a = \sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!} + \sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!}\) .

O número \((b-1)!a -\sum_{n=0}^{b} \frac{b!}{n!}\) é inteiro positivo ,por outro lado ,

\(\sum_{n=b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!} = b!\left( \frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} + \dots\right)\) .

Simplifique o fatorial e compare com uma PG de razão 1/2 p/ concluir .

boa tarde.
como você chegou à conclusão de que o número \((b-1)!a-\sum_{n=0}^{b}\frac{b!}{n!}\) é inteiro positivo?

O número \(\sum_{k=0}^{b} \frac{b!}{n!} = b! + b! + \frac{b!}{2!} + \dots + 1\) de fato é inteiro positivo ,observando-se as parcelas em que \(b > n\) ,temos :

\(b! = \prod_{k=1}^b k = \prod_{k=1}^n k \cdot \prod_{k=n+1}^b k = n! \prod_{k=n+1}^b k =\) .

Assim , \(b!/k!\) é inteiro para cada \(k\in\{0, \dots , b\}\) ,logo concluímos que a diferença \((b-1)!a - \sum_{k=0}^{b} \frac{b!}{n!}\) é um número inteiro positivo ,isto porque \(\sum_{k=b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!} > 0\) .

Argumento que utilizei foi este ,vamos ver que os demais membros do fórum acham .

Aceitando que
\(e = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}\)

e tratando-se de uma série de termos positivos, tem -se necessariamente

\(\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} > \sum_{n=0}^{p} \frac{1}{n!}, \quad \forall p \ge 0\)

Deste modo

\(e - \sum_{n=0}^{p} \frac{1}{n!} > 0\)

para qualquer inteiro p, pelo que também no caso especifico p = b.