Limite

[soccer.math]

Boa tarde

como reolver esse limite sem usar derivada ou l'Hopital?

A resposta é -2 só que não consigo desenvolver o limite para poder chagar a resposta. Gostaria como funciona a resolução dele

Obrigado pela atenção.

Observação: Onde está escrito log (x+1), lê-se: ln (x+1)

Anexos

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[santhiago]

Parece interessante dividir em cima e em baixo por \(x\) ,vamos ver o que acontece : \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x - sin(3x) - 1}{ln(x+1)} = \lim_{x\to 0} \frac{\dfrac{e^x - sin(3x) - 1}{x}}{\dfrac{ln(x+1)}{x}} = \lim_{x\to 0} \frac{\dfrac{e^x - 1 }{x} - \dfrac{sin(3x) }{x}}{ln[(x+1)^{1/x}]}\) .

Para prosseguir observe os limites fundamentais .

[npl]

E como é que foram calculados esses limites fundamentais?
Sem recurso ao raciocínio do Marquis de L'Hopital !?!?...

[santhiago]

Boa tarde .Sabemos que \(\lim_{x\to 0} \frac{a^x - 1}{x} = ln(a)\forall a > 0\) e que \(\lim_{x\to 0} \frac{sin(\lambda x)}{x} = \lambda (*)\) .De fato , se \(\lambda = 0\) a função é constante , logo seu limite é o próprio \(\lambda = 0\) ,caso \(\lambda \neq 0\) . Multiplicando-se o numerador e o denominador por\(\lambda\) e tomando a substituição \(\lambda x = t\) ,segue \(\lim_{t\to 0} sin(t)/t = 1\) pelo limite fundamental, o que mostra \((*)\) para quaisquer \(\lambda\) .Em particular para \(a =e\) e \(\lambda = 3\) obtemos \(\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} - \frac{sin(3 x)}{x} = ln(e) - 3 = - 2\) e como \(\lim_{x\to 0} ln(1+x)^{1/x} = ln(\lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x}) = ln(e) = 1\) (Limite fundamental ) resulta \(\lim_{x \to 0} \frac{e^x -sin(3x) - 1}{ln(x+1)} = - 2\) .

[npl]

Boa tarde .Sabemos que \(\lim_{x\to 0} \frac{a^x - 1}{x} = ln(a)\forall a > 0\) e que \(\lim_{x\to 0} \frac{sin(\lambda x)}{x} = \lambda (*)\) .

...

E como é que se sabe isso senão pelo raciocínio do Marquis de l'Hopital?...