PA E PG

[João Neto]

Sejam (1, a2, a3, a4) e (1, b2, b3, b4) uma progressão aritmética e
uma progressão geométrica, respectivamente, ambas com a mesma
soma dos termos e ambas crescentes. Se a razão r da progressão
aritmética é o dobro da razão q de progressão geométrica, então, o
produto r.q é igual a:

A) 15
B) 18
C) 21
D) 24

[danjr5]

Olá João Neto,
boa tarde!

Da P.A tiramos:

\(a_2 - 1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = r\)

i:

\(\\ a_2 - 1 = r \\ \fbox{a_2 = r + 1}\)

ii:

\(\\ a_3 - a_2 = r \\ a_3 = a_2 + r \\ a_3 = (r + 1) + r \\ \fbox{a_3 = 2r + 1}\)


iii:

\(\\ a_4 - a_3 = r \\ a_4 = a_3 + r \\ a_4 = (2r + 1) + r \\ \fbox{a_4 = 3r + 1}\)


Da P.G tiramos:

\(\frac{b_2}{1} = \frac{b_3}{b_2} = \frac{b_4}{b_3} = q\)

i:

\(\\ \frac{b_2}{1} = q \\ \fbox{b_2 = q}\)


ii:

\(\\ \frac{b_3}{b_2} = q \\ b_3 = b_2 \cdot q \\ b_3 = q \cdot q \\ \fbox{b_3 = q^2}\)


iii:

\(\\ \frac{b_4}{b_3} = q \\ b_4 = b_3 \cdot q \\ b_4 = q^2 \cdot q \\ \fbox{b_4 = q^3}\)


Do enunciado temos \(\begin{cases} r = 2q \\ 1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + b_2 + b_3 + b_4\end{cases}\).

Da equação II:

\(1 + a_2 + a_3 + a_4 = 1 + b_2 + b_3 + b_4\)

\((r + 1) + (2r + 1) + (3r + 1) = q + q^2 + q^3\)

\(6r + 3 = q + q^2 + q^3\)

\(6 \cdot 2q + 3 = q + q^2 + q^3\)

q³ + q² - 11q - 3 = 0

\(\fbox{q = 3}\)


Substituindo na equação I, teremos:

\(\\ r = 2q \\ r = 2 \cdot 3 \\ \fbox{r = 6}\)


Logo, \(\fbox{\fbox{\fbox{rq = 18}}}\)

[João Neto]

A resposta está correta. Mas como resolveste essa equação do 3° grau? Acho que é a parte mais difícil.

q³ + q² - 11q - 3 = 0

[Sobolev]

Uma forma mais simples, sem sequer pensar nas progrssões propriamente ditas:

Se r = 2q então r q = 2 q^2. Das alternativas apresentadas 18 é a única que corresponde ao dobro de um quadrado perfeito.