Calcule o volume de um prisma

[vinipro7]

Calcule o volume de um prisma reto de altura "a" e cuja base e um pentágono (dodecágono) regular de lado "a"

[Sobolev]

Tem em primeiro lugar que calcular a área de um dodecágono regular ...

Um dodecágono regular pode ser decomposto em 12 triangulos isósceles, em que um dos lados mede "a" e os outros dois são raios da circunferência que suporta os vértices do dodecágono. Sabendo que o ângulo oposto ao lado de medida "a" deve ser de \(\pi/6\) e utilizando a lei dos senos pode determinar o raio da circunferência e também a altura desse triângulo isósceles. Com estes dados, se não me enganei nas continhas, deve conseguir chegar a um área de \(12 a^2 \sin^2(5 \pi/12)\).

Assim o volume será
\(V = 12 a^3 \sin^2(5 \pi/12)\)