continuidade

[Walter R]

Agradeceria alguma informação que me auxiliasse na resolução do seguinte problema:

"Seja \(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) uma função contínua. Mostre que se \(A\subseteq \mathbb{R}\) é um conjunto fechado, então \(f^{-1}(A)= \left \{ x \in \mathbb{R}/f(x) \in A) \right \}\) é fechado. Mostre que se \(O\subseteq \mathbb{R}\) é um conjunto aberto, então \(f^{-1}(O)\) é aberto".

[Sobolev]

Encontra a demonstração em qualquer livro de topologia geral. Na verdade este resultado fornece uma caracterização muito elegante das funções contínuas: são as que transformam inversamente conjuntos abertos em conjuntos abertos.