A circunferência e suas relações

[Mauro]

Amigos, sou um curioso. Gosto muito de geometria, mas não tenho muita base.

Fuçando, como se diz na gíria, 'descobri/inventei' (assim, entre aspas, porque não tenho a pretensão de ter descoberto verdadeiramente nada) que a fórmula abaixo, cuja variável independente é o \(x\), que representa a quantidade de dimensões espacias (1, 2 ou 3) e fixando-se o \(r\) (raio da circunferência) em 1 para melhor desenvolvimento,

\(y = \frac {2 {(x-1)! \pi r^x}}{x}\) (1)

reúne numa única sentença matemática o que na geometria se apresenta com três fórmulas distintas para calcular relações com a circunferência, ou seja, sabemos que se tem \(2 \pi r\) para calcular o comprimento da circunferência, \(\pi r^2\) para achar a área do círculo e \(\frac {4}{3} \pi r^3\) para encontrar o volume da esfera.

(Não há a necessidade de se ressalvar o x > 0, pois a natureza das coisas impõe a inexistência de dimensão espacial menor que 1.)

Substituindo-se o 'x' pela dimensão espacial desejada (1, 2 ou 3 - sem prejuízo de se ir além), a expressão em (1) dá a fórmula algébrica que todos conhecemos com relação à figura circular.

Assim, se 'x=1', temos a primeira fórmula consagrada; se 'x=2' a segunda e se 'x=3' a terceira.

Plotei o gráfico de (1) e ele me deu uma curva semelhante à função Gama de Euler, cujo mínimo visualmente está perto de 'x=2'.

Mas o que eu gostaria de fazer é derivar (1) e igualá-la a zero, a fim de calcular o valor de 'x' que desse o mínimo exato.
Mas não sei como fazer isto, pois não sei derivar uma função que usa fatorial.

Alguém poderia me dar uma dica?

Grato pela paciência.
Mauro

[João P. Ferreira]

Vc é um génio

meu caro, o que vc está a fazer é poesia matemática.

A sua fórmula acha o "hiper-volume" da esfera para qualquer dimensão n (não sei se é válida para hiper-dimensões maiores que 3, mas para 1,2,3 já vi que é)

O gráfico é sempre crescente, como mostra a figura, logo a derivada nunca dá zero

Saudações e volte sempre

Anexos

WolframAlpha--plot_y2x-1_pixx_x14--2013-06-07_1621.png (14.54 KiB) Visualizado 2733 vezes

[Mauro]

Vc é um génio

meu caro, o que vc está a fazer é poesia matemática.

A sua fórmula acha o "hiper-volume" da esfera para qualquer dimensão n (não sei se é válida para hiper-dimensões maiores que 3, mas para 1,2,3 já vi que é)

O gráfico é sempre crescente, como mostra a figura, logo a derivada nunca dá zero

Saudações e volte sempre

Caro João Ferreira, se não for ironia, obrigado pelo elogio. E, se não for mesmo ironia, a verdade é que estou lá perto do \(-\infty\) em termos de inteligência e conhecimento.

Mas, perguntei sobre 'mínimos' porque meu gráfico ficou diferente do seu, e não sei onde foi que errei. Na fórmula que pus para a plotagem, usei r=1, de modo que este termo ficou mesmo ausente, reduzindo a (1) a

\(y = \frac{2(x-1)!\pi}{x}\)

Usando um 'plotter' (ainda não sei inserir gráficos aqui), variando 'x' entre 1 e 3, a ordenada desce, no ponto 1, de um valor um pouco além do y=6, perto de x=2 ela chega um pouco mais de y=3 e, no x=3, alcança um pouco mais que y=4.

O gráfico consegui assim:clique

[João P. Ferreira]

tem razão meu caro, devo ter feito r diferente de 1, sim para r=1 fica como mostra

considerando então

\(y = \frac{2(x-1)!\pi}{x}\)

para achar o mínimo vc deriva e iguala a zero

\({dy \over dx}=\frac{(2(x-1)!\pi)'x-x' 2(x-1)!\pi}{x^2}=\frac{2\pi((x-1)!)'x-2\pi(x-1)!}{x^2}\)

ora sabendo que \(z!=\int_{0}^{\infty} t^z e^{-t}\, dt\)

\((x-1)!=\int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t}\, dt\)

depois é só "fazer contas" mas pelo gráfico para ser para x=2

esperimente verificar por exemplo que \(y(1,99)>y(2)<y(2,11)\)

Abraços

Anexos

WolframAlpha--y_2x-1_pix--2013-06-07_1729.png (14.58 KiB) Visualizado 2722 vezes

[Mauro]

Ora viva, Dr. João Ferreira!, é não é que tinha mesmo algo a ver com Euler?

Que lindo!!!!

Obrigado. Muito obrigado. Vou estudar para ver se entendo alguma coisinha.