Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Sabendo que \(\frac{p}{4}\) e \(p + 1\) são as soluções da equação \(3x^2 - x + k = 0\)
Descobrir o valor de \(K\) e \(P\)

Paulo,
boas vindas!

A soma das raízes de uma equação de grau 2 é dada por: \(S = \frac{- b}{a}\), onde, \(ax^2 + bx + c = 0\)

Portanto, a soma das raízes daquela equação é:

\(\\ S = \frac{- b}{a} \\\\ S = \frac{- (- 1)}{3} \\\\ S = \frac{1}{3}\)


Somando as raízes dada no enunciado, temos:

\(\\ S = \frac{p}{4} + p + 1 = \\\\ S = \frac{p}{4_{/1}} + \frac{p}{1_{/4}} + \frac{1}{1_{/4}} = \\\\ S = \frac{p + 4p + 4}{4} = \\\\ S = \frac{5p + 4}{4}\)


Igualando...

\(\\ \frac{5p + 4}{4} = \frac{1}{3} \\\\ 3(5p + 4) = 4 \\ 15p + 12 = 4 \\ 15p = - 8 \\ \fbox{p = - \frac{8}{15}}\)


Tente encontrar o valor de \(k\)!

Qualquer dúvida retorne!

Att,

Daniel.

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Daniel Ferreira
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Sinceramente nem sabia que essa 'formula' existia...
E para achar o valor de K, normalmente tenho 2 funçoes, uma delas continua, e fazendo os limites, chega-se lá.
Mas com esta nao estou mesmo a ver.... tentei igualar a funçao a uma das raízes e n consegui visto que existem 2 incognitas, uma delas o X , onde nos limites daria para substituir, mas aqui nao sei mesmo..
Poderia dar mais uma ajuda?

Paulo,
desculpe a demora!

Segue outra forma de resolver: as raízes da equação foram dadas, então, podemos substituí-las equação, veja:

- Quando \(x = \frac{p}{4}\)

\(3x^2 - x + k = 0\)

\(3 \cdot (\frac{p}{4})^2 - \frac{p}{4} + k = 0\)

\(\frac{3p^2}{16} - \frac{p}{4} + k = 0\)

\(\frac{3p^2}{16_{/1}} - \frac{p}{4_{/4}} + \frac{k}{1_{/16}} = 0\)

\(3p^2 - 4p + 16k = 0\)

\(16k = - 3p^2 + 4p\)

\(\fbox{k = \frac{- 3p^2 + 4p}{16}}\)


- Quando \(x = p + 1\)

\(3x^2 - x + k = 0\)

\(3(p + 1)^2 - (p + 1) + k = 0\)

\(3(p^2 + 2p + 1) - p - 1 + k = 0\)

\(3p^2 + 6p + 3 - p - 1 + k = 0\)

\(3p^2 + 5p + 2 + k = 0\)

\(\fbox{k = - 3p^2 - 5p - 2}\)


Devemos agora igualar os valores de \(k\), daí:

\(k = k\)

\(\frac{- 3p^2 + 4p}{16} = - 3p^2 - 5p - 2\)

\(- 3p^2 + 4p = 16(- 3p^2 - 5p - 2)\)

\(- 3p^2 + 4p = - 48p^2 - 80p - 32\)

48p² - 3p² + 80p + 4p + 32 = 0

45p² + 84p + 32 = 0

\(\Delta = 84^2 - 4 \cdot 45 \cdot 32\)

\(\Delta = 7056 - 5760\)

\(\Delta = 1296\)

\(p = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\Rightarrow p = \frac{- 84 \pm \sqrt{1296}}{90}\)

\(\begin{cases} p' = \frac{- 84 + 36}{90} \Rightarrow p' = \frac{- 48^{\div 6}}{90^{\div 6}} \Rightarrow \fbox{\fbox{p' = \frac{- 8}{15}}} \\\\ p'' = \frac{- 84 - 36}{90} \Rightarrow p'' = \frac{- 120^{\div 30}}{90^{\div 30}} \Rightarrow \fbox{\fbox{p'' = \frac{- 4}{3}}} \end{cases}\)


Para encontrar o valor de \(k\), podemos substituir o valor de \(p\) em qualquer uma das equações acima destacadas.

Encontrarei o valor de \(k\) para \(p = \frac{- 8}{15}\). Você encontra o outro valor, certo?!

Substituirei o valor de \(p\) na equação \(\fbox{k = - 3p^2 - 5p - 2}\), segue que:

\(k = - 3 \cdot \left ( \frac{- 8}{15} \right )^2 - 5 \cdot \left ( \frac{- 8}{15} \right ) - 2\)

\(k = - 3 \cdot \left ( \frac{64}{225} \right ) + \left ( \frac{40}{15} \right ) - 2\)

\(k = \frac{- 192^{\div 3}}{225^{\div 3}} + \frac{40^{\div 5}}{15^{\div 5}} - 2\)

\(k = \frac{- 64}{75_{/1}} + \frac{8}{3_{/15}} - \frac{2}{1/75}\)

\(k = \frac{- 64 + 120 - 150}{75}\)

\(\fbox{\fbox{k = \frac{- 94}{75}}}\)

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Daniel Ferreira
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