Fórum de Matemática
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A área da coroa circular representada na figura é 16 \(\pi\) cm2. (AB) é uma corda da circunferência exterior, tangente à circunferência interior. Sabendo que a circunferência interior tem raio igual a 3 cm, determine o comprimento da corda (AB).

Olá, boa noite,

Se chamarmos de \(R\) o raio da circunferência maior e \(r\) o raio da circunferência menor, então a área da coroa circular é:

\((R^2 - r^2) \pi = 16 \pi \Rightarrow R^2 = 16 - r^2\).

Se você chamar a metade de AB de \(x\), então por Pitágoras temos:

\(x^2 + r^2 = R^2\)

Agora é substituir o \(R^2\) da 1a. expressão nessa última e encontrar x. Como x é a metade de AB então \(\bar{AB} = 2x\) e concluir o exercício.

Qualquer dúvida manda de volta pra gente.

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Fraol
_{Você também pode contribuir, se souber alguma questão responda ou participe da discussão. Divulgue nosso forum.}

Vou pegar uma carona do mestre Fraol e desenvolver para ver se eu aprendo também.

Veja que, em seu desenho, você já encontrou as pistas, no esboço do triângulo interno às circunferências.

A coroa é a diferença entre duas circunferências.

Como sabemos a área dessa zona intermediária podemos dizer que para se obter a área do círculo externo devemos somar a área do círculo interno à área desta zona intermediária.

\(A_e = A_i + 16 \pi cm^2\)

A área do círculo interno podemos calcular facilmente, por ser

\(A_i = \pi \times r_i^2\)

Então, a área do círculo interno é

\(A_i = \pi \times 3^2 = 9 \pi cm^2\)

Voltando, a área do círculo externo é

\(A_e = 9\pi cm^2 + 16 \pi cm^2 = 25 \pi cm^2\)

Agora podemos saber o raio da circunferência externa, usando a mesma fórmula da área do círculo.

Dizendo que o raio da circunferência externa é \(r_e\), temos

\(\pi r_e ^2 = 25 \pi cm^2\)

e

\(r_e = {\sqrt{\frac{{25 \pi cm^2}}{\pi}} = 5cm\)


Isto tudo foi feito apenas para descobrir o raio da circunferência externa. Por quê? Porque este raio é a hipotenusa do triângulo que você esboçou.

Nesse mesmo triângulo, a base é o raio interno, de 3cm, dado pelo problema.

Veja que seu problema praticamente foi resolvido, pois o cateto que se alinha com o segmento AB pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras.
Então, por ele, o raio da circunferência externa (ao quadrado) terá de ser igual à soma dos quadrados do raio da circunferência interna com o quadrado do cateto alinhado. Vamos chamar a este cateto de comprimento desconhecido de 'a':

\(r_e^2 = r_i^2 + a^2\)

Assim,

\(25cm^2 = 3^2cm^2+a^2cm^2\)

'Algebrando':

\(a^2cm^2 = 16cm^2\)

e

\(acm = \sqrt{16cm^2} = 4cm\)

Ora, o cateto 'a' é a metade do segmento AB,

\(AB= 2 \times a = 2 \times 4cm = 8cm\)

Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"

Boas Mauro,

Sua resposta está correta. E lá vai um errata. O sinal é + no segundo membro da minha primeira expressão, o correto é \(R^2 = 16 + r^2\).

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Fraol
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Obrigado pela verificação, Fraol.
Abração
Mauro

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Mauro Trerotola
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