Taxa de Variação III

[Borracha22]

12) Uma escada com 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo?

[Mauro]

12) Uma escada com 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a deslizar horizontalmente, à razão de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede, quando está a 4m do solo?

Este exemplo tirei de http://alfaconnection.net/pag_avsm/ldt0309.htm:

Como eu não sei resolver, vou tentar embarcar na dúvida e perguntar se é isto mesmo:

Consideremos que a posição da escada forma um triângulo com a parede e o piso.
Assim, a altura do topo da escada chamaremos de 'y', de 'x' a distância da parede ao pé da escada. A escada tem 6m.

A velocidade do pé da escada, a horizontal, \(V_h=\frac{dx}{dt}\)
A velocidade do topo da escada, a vertical, \(V_v=\frac{dy}{dt}\)

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos dizer que

\(y^2+x^2=6^2\)

Como o problema diz que interessa saber a velocidade quando a escada estiver a 4 m do piso, então, neste ponto do tempo de descida, y=4. Neste ponto, qual seria o valor de 'x'?

\(4^2+x^2=36\)

Logo

\(x=\sqrt{20}\)


Acontece que, em

\(y^2+x^2=6^2\)

Como desejamos velocidade instantânea, deveremos derivar a equação.

\((y^2)'+(x^2)'=(6^2)'\)

Se 'y' é dependente de x e de 't', e 'x' é dependente de 't' no problema dado,

\(\frac{d(y^2)dy}{dt}+\frac{d(x^2)dx}{dt}=\frac{d(6^2)}{dt}\)

\(2y\frac{dy}{dt}+2x\frac{dx}{dt}=0\)

Como nos interessa saber \(V_v\) e sendo \(V_v=\frac{dy}{dt}\) e \(V_h=\frac{dx}{dt}\)

\(2y \times V_v+2x \times V_h=0\)

então

\(V_v=-\frac{2x \times V_h}{2y}\)

ou

\(V_v=-\frac{x \times V_h}{y}\)

\(V_v=-\frac{\sqrt{20} \times 0,6}{4}\)

Será que acertei? Como sempre, sou muito inseguro.

Abração
Mauro

[João P. Ferreira]

Caro Mauro

Muito obrigado pela sua contribuição.

Apenas para referir que há um tópico muito semelhante aqui:
viewtopic.php?f=6&t=2542

Um abraço

[npl]

Só quero chamar a atenção que o diferencial de Y(da altura) é para ser calculado em ordem ao diferencial de x(base) e não do tempo(t).

Parece-me mais simples escrever:
\(y = sqrt[36 - x^2]\)
e derivar y em ordem a x.
Não tenho tempo agora para analisar melhor mas julgo que assim será mais fácil compreender.

Cumprimentos.

PS-Aquela é a fórmula da circunferência.