Fórum de Matemática
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Preciso de ajuada para resolver esta questão:
Considere as sucessões de termos gerais:

\(c_n=\frac{2n}{n+1}\)

\(d_n=4n+(-1)^n.2\)

Indique qual é crescente e qual é crescente apenas em sentido lato.

Desde já obrigado.

Boa tarde,



Se a sua definição for igual à que me recordo, então:

\(c_n\) é crescente para \(c_{n+1} - c_n > 0\) e crescente lato para \(c_{n+1} - c_n \geq 0\), para \(\forall n \in N\).
Então basta fazer a conta \(c_{n+1} - c_n\) para verificar que \(c_n\) é crescente.

E
\(d_n\) é crescente para \(d_{n+1} - d_n > 0\) e crescente lato para \(d_{n+1} - d_n \geq 0\), para \(\forall n \in N\).
Nesse caso, vamos fazer a conta que o resultado é interessante:

\(d_{n+1} - d_n = 4(n+1)+(-1)^{n+1}.2 - (4n+(-1)^n.2) = 4 - 4(-1)^n\).

Observando a última expressão notamos que quando \(n\) é ímpar seu resultado é \(8\) e quando \(n\) é par seu resultado é \(0\). Ou seja a diferença entre os termos sucessivos fica sempre 0 ou 8, então \(d_n\) é crescente lato.

É isso.

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Fraol
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Desde já muito obrigado pela resposta, mas a minha dificuldade está no cálculo.
A sucessão \(c_n\) penso que consegui resolver, mas a \(d_n\), estou com uma certa dificuldade.

\(c_{n+1}-c_n> 0\)

\(\frac{2(n+1)}{n+1+1}-\frac{2n}{n+1}=\frac{2n+2}{n+2}-\frac{2n}{n+1}\)

\(=\frac{2n^2+4n+2-2n^2-4n}{(n+2)(n+1)}=\frac{2}{n^2+3n+2}\)

Como \(n^2+3n+2\) é sempre positivo, a sucessão é sempre maior que zero sendo crescente.

\(d_{n+1}-d_n \geqslant 0\)

nesta não percebi como se chegou a \(4-4(-1)^n\).
Quado chego à expressão
\(4+(-1)^{n+1}.2-[(-1)^n.2]\)
já não consigo sair daqui.

Como

\((-1)^{n+1} = - (-1)^n\)

Então

\(4 + (-1)^{n+1}\cdot 2 - (-1)^n\cdot 2 = 4 - 2(-1)^n - 2(-1)^n = 4 - 4 (-1)^n\)

Muito obrigado. Tudo percebido.