Lorang Escreveu:Olá a Todos!!
Por favor, alguém me ajude com a seguinte questão:
""Em um triangulo retângulo a hipotenusa mede 40m e a altura relativa a esta mede 19,2m. Calcule as medidas dos catetos.""
Eu sei que o produto da multiplicação das medidas dos catetos é igual ao produto da multiplicação do valor da hipotenusa pelo valor da altura relativa a esta (40 X 19,2), mas eu não estou conseguindo encontrar as medidas dos catetos de jeito nenhum.
Obrigado pela atenção!!!
Caro Lorang, não sei se esta é a melhor abordagem, mas vamos lá.
No triângulo original, chamaremos por 'a' ao cateto maior e por 'b' ao cateto menor.
À hipotenusa chamaremos 'c'.
A altura relativa à hipotenusa chamaremos 'h'.
A altura relativa 'h' divide o triângulo original em dois outros.
Um deles terá como um dos seus catetos parte da hipotenusa 'c' do triângulo original. Vamos dar a letra 'm' para este cateto. O outro cateto terá o mesmo valor 'h', o da altura relativa. A hipotenusa deste triângulo será o valor do lado 'b' do triângulo original.
O outro triângulo saído do original terá como hipotenusa o lado 'a' do próprio triângulo original. A altura relativa 'h' dará a medida do comprimento de um seu cateto. O outro cateto será parte da hipotenusa 'c' original, e o chamaremos por 'n'.
Feito o cenário, por semelhança de triângulos, teremos:
\(a^2=nc\)
\(b^2 = mc\)
\(h^2 = mn\)
Sabemos que
h=19,2m
c=40m
Como sabemos que
\(m+n=40\)
vem que
\(m=40-n\)
Tomando
\(h^2=mn\)
temos que
\((19,2)^2=(40-n)n\)
Logo
\(368,64=40n-n^2\)
ou
\(n^2-40n+368,64 = 0\)
Por Báscara
\(\begin{cases} & n_1=25,60 \\ & n_2= 14,40 \end{cases}\)
Qual dos valores escolher? Deixemos de lado por enquanto.
Vamos calcular o valor de 'm'.
\(m=40-n\)
\(m =\begin{cases} 14,40, \text {para n=25,60} \\ 25,60, \text {para n=14,40} \end{cases}\)
Ou seja, os valores das raízes 'n' também são os valores de 'm' alternados. Compreende-se que isto decorre do perfeito ajuste dos triângulos oriundos da divisão causada pela altura-relativa no original.
Então vamos arbitrar
\(n=25,60\)
e
\(m=14,40\)
Tendo 'm' e 'n', poderemos calcular o cateto 'a' e o cateto 'b' do triângulo original.
\(a^2 = nc\)
e
\(b^2 = mc\)
Ou seja,
\(\fbox{a=\sqrt{25,60 \times 40m}=32m}\)
e
\(\fbox{b=\sqrt{14,40 \times 40m}=24m}\)
Tirando a prova por Pitágoras:
\(c=\sqrt{a^2+b^2}\)
\(c=\sqrt{32^2+24^2}\)
\(c=\sqrt{1600}=40\)
Você pode ver um exemplo de onde tirei a ideia para resolver isto no
Youtube .
Abração
Mauro