amadeu Escreveu:
Olá pessoal !
Segue mais uma questão: __ Qual a derivada da seguinte função ?
\(f(x)=\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}\)
Segundo julgo saber, a fórmula a aplicar é:\(\,\,\,y^,=m\cdot u^{m-1}\cdot u^,\)
ou, esta outra:\(\,\,\,y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,\)
Como no radicando temos um quociente, e é necessário aplicar a derivada deste na fórmula,\((u^,)\) temos que a encontrar. Para tal usamos a fórmula da derivada para este fim:
\(y^,=\frac{v.u^,-u.v^,}{v^2}\).
Se: \(\,\,\,y=\frac{3}{x^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^,=-\frac{6}{x^3}\,\,\,\) depois, aplicamo-la no devido lugar em uma das fórmulas dadas acima, e desenvolvemos toda a fórmula até chegar à solução final.
A questão é que o manual de onde tirei o problema apresenta como solução:
\(f^,(x) =-\frac{2\sqrt[5]3}{5}.x^{-\frac{7}{5}\)
Eu, depois de dar voltas à tóla, a tentar desenvolver o problema não consegui chegar aquele resultado.
Será que o mesmo está errado ? Ou me faltam conhecimentos de alguns artifícios matemáticos para chegar até ele ?
Gostaria que alguém resolvesse o problema até á simplificação máxima, para verificação.
Grato:
amadeu
Caro Amadeu, vou me aventurar, ok? Esperemos outros comentários críticos para enriquecimento de nosso forum.
Eu faria um algebrismo antes:
\(f(x)={\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{x ^{\frac{2}{3}}}\)
Aplicando a regra do quociente,
\(y^,=\frac{v.u^,-u.v'}{v^2}\)
\(v=x^{\frac{2}{3}}\)
\(u=3^{\frac{1}{3}}\)
\(y'=\frac{x^{\frac{2}{3}}.0-3^{\frac{1}{3}}.{\frac{2}{3}^{-\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}}}\)
\(y'=-\frac{\frac{3^{\frac{1}{3}}}{{\frac{2}{3}^{\frac{1}{3}}}}}{x^{\frac{4}{3}}}\)
Se estou certo, não ajudei muito e acho que estou muito longe da resposta do manual; se estou errado, perdão pela perda de tempo de todos.
Abração
Mauro
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