Se uma curva tem equação polar r=cosθ+sinθ, obtenha a expressão em coordenadas cartesianas para esta curva.

[NiGoRi]

Olá.

Alguém sabe como resolver?

Se uma curva tem equação polar r=cosθ+sinθ, obtenha a expressão em coordenadas cartesianas para esta curva.


Obrigado.

[Eduardo Fernandes]

Boa noite, NiGoRi!
Existem relações entre cordenadas polares e rectangulares que são \(x=r*cos(\theta), y=r*sin(\theta), r=x^2+y^2\)

Com estas expressões consegues chegar ao que queres com um bocadinho de manipulação.

Uma coisa que nos vai dar jeito é saber que : \((k-\frac{1}{2})^2= k^2-k+\frac{1}{4}\)

Portanto partindo de \(r=cos(\theta)+sin(\theta)\):

\(r=cos(\theta)+sin(\theta) \Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow r^2= r*cos(\theta)+ r*sin(\theta)
Substituindo:
x^2+y^2= y+x \Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0 \Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4} \Longleftrightarrow
\Longleftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{2}\)

Portanto pode-se concluir que será uma circunferência de raio \(\frac{sqrt 2}{2}\) com centro em \((\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)

Se for preciso mais algum detalhe não hesites dizer
Espero ter ajudado!
Cumprimentos
Eduardo Fernandes

[Davi Constant]

Olá.

Alguém sabe como resolver?

Se uma curva tem equação polar r=cosθ+sinθ, obtenha a expressão em coordenadas cartesianas para esta curva.


Obrigado.

NiGoRi

Inicialmente multiplico toda a equação \(\Large r=sen\theta +cos\theta\) por \(\Large r\)
Fica:
\(\Large r^2=r sen\theta +r cos\theta \Rightarrow x^2+y^2=x+y\Rightarrow x^2-x+y^2-y=0\Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}+y^2-y+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\Rightarrow \left ( x-\frac{1}{2} \right )^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{2}\)

Que é uma circunferência de centro\(\Large\left ( \frac{1}{2},\frac{1}{2} \right )\) e raio \(\Large\frac{\sqrt2}{2}\).
Espero ter ajudado.