Resolvendo a equação diferencial homogénea

[ivoski]

help me
equação:
x²y´ = x² + y²

[João P. Ferreira]

\(x^2 y' = x^2 + y^2\)

\(y'=\frac{x^2+y^2}{x^2}\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{x^2}\)

a forma canónica será

\(x^2 dy-(x^2+y^2) dx=0\)

repare que as função são homogéneas com o mesmo grau logo a equação é uma equação homogénea

faça uma substituição \(y=ux\) e \(dy=udx+xdu\)

[ivoski]

[size=85][/size]

\(x^2 y' = x^2 + y^2\)

\(y'=\frac{x^2+y^2}{x^2}\)

\(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2+y^2}{x^2}\)

a forma canónica será

\(x^2 dy-(x^2+y^2) dx=0\)

repare que as função são homogéneas com o mesmo grau logo a equação é uma equação homogénea

faça uma substituição \(y=ux\) e \(dy=udx+xdu\)

eu cheguei a ==> y² -xy -x² -xc
esta certa a resposta professor?

[João P. Ferreira]

partilhe os desenvolvimentos que fez, que lhe dizemos se está certo

use preferencialmente aqui o LaTex/Editor de equações (botão mm aí por cima)

Abraços

[hierra]

a resposta seria por esse caminho?

\(cx=e^{\frac{{2arctan\left ( \frac{2y-x}{\sqrt{3-x}} \right )}}{\sqrt{3}}}\)

[João P. Ferreira]

Não fiz os desenvolvimentos, por isso pedi-lhe para que os faça aqui, para confirmar

Tínhamos então

\(x^2 dy-(x^2+y^2) dx=0\)

repare que as função são homogéneas com o mesmo grau logo a equação é uma equação homogénea

fazendo uma substituição \(y=ux\) e \(dy=udx+xdu\)

\(x^2 (udx+xdu)-(x^2+(ux)^2) dx=0 \Leftrightarrow \\ x^2 u dx+x^3du-(x^2(1+u^2)) dx=0 \Leftrightarrow \\ x^2(u-1-u^2)dx+x^3du=0 \Leftrightarrow \\ (u-1-u^2)dx+x du=0 \Leftrightarrow \\ \frac{1}{x}dx-\frac{1}{u^2-u+1} du=0 \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{u^2-u+1} du=0\)

avance...

A solução está aqui
[url]http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+x^2y%27+%3D+x^2+%2B+y^2[/url]

[ivoski]

a resposta seria por esse caminho?

\(cx=e^{\frac{{2arctan\left ( \frac{2y-x}{\sqrt{3-x}} \right )}}{\sqrt{3}}}\)

Boa tarde Hierra
voce conseguiu chegar a solução???
eu ainda nao!

Boa Professor Joao Ferreira
obrigado pela ajuda, mas nao estou conseguindo chegar ao resultado da WolframAlpha
pode me dar mais um help?
abraços

[hierra]

Cheguei utilizando o WolframAlpha e o Maxima, além da ajuda do João. No WolframAlpha tem um step-by-step que lhe mostra como resolver passo a passo. És cederjano, como te encontro?

[ivoski]

Cheguei utilizando o WolframAlpha e o Maxima, além da ajuda do João. No WolframAlpha tem um step-by-step que lhe mostra como resolver passo a passo. És cederjano, como te encontro?

[João P. Ferreira]

Continuando

\(\int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{u^2-u+1} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{u^2-u+1/4+3/4} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{1}{3/4+(u-1/2)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\int\frac{4/3}{1+\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\ \int\frac{1}{x}dx-\frac{4}{3}\frac{\sqrt{3}}{2}\int\frac{2/\sqrt{3}}{1+\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\
\int\frac{1}{x}dx-\frac{2}{\sqrt{3}}\int\frac{2/\sqrt{3}}{1+\left(\frac{2u-1}{\sqrt{3}}\right)^2} du=0 \ \Leftrightarrow \\
\log(x)-\frac{2}{\sqrt{3}}\arctan{\frac{2u-1}{\sqrt{3}}}=c \ \Leftrightarrow \\
\arctan{\frac{2u-1}{\sqrt{3}}}=c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \ \Leftrightarrow \\
\frac{2u-1}{\sqrt{3}}=\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right ) \ \Leftrightarrow \\
u=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right )+1/2\)

como \(y=ux\) então \(u=y/x\) logo

\(y/x=\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right )+1/2 \ \Leftrightarrow \\
y=\frac{\sqrt{3}x}{2}\tan\left(c+\frac{\sqrt{3}\log(x)}{2} \right )+x/2\)

confirmei no Wolfram, está certo

Coloque esta expressão no Wolfram Alpha
solve x^2y' = x^2 + y^2