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\(\text{Sejam } k \in \mathbb{N}\text{ e }a_1,\;a_2,...,a_n\in\mathbb{R}_{*}^{+}\text{ tais que }a_1+a_2+\cdots +a_n=1, \text{ prove que }\\\\
a_{1}^{-k}+a_{2}^{-k}+\cdots +a_{n}^{-k}\geq n^{k+1}.\)

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"Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina." Cora Coralina


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MensagemEnviado: 26 jan 2020, 00:51 
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Partindo do nada pode ser um exercício complicado. Mas pode ser feito facilmente usando a desigualda de Jensen, relativa à função convexa \(f(x)= x^{-k}\), do seguinte modo:
\(\left(\frac{1}{n}\right)^{-k}=f\left(\frac{x_1+\cdots +x_n}{n}\right)\le \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{n}=\frac{x_1^{-k}+\cdots +x_n^{-k}}{n}
\Rightarrow x_1^{-k}+\cdots +x_n^{-k}\ge n^{k+1}\)

Também dá para mostrar recorrendo à desigualdade das médias generalizadas: \(M_p(x_1,\dots,x_n)\le M_q(x_1,\dots,x_n)\) sempre que \(p<q\), onde \(M_p(x_1,\dots,x_n)=\left(\frac{x_1^p+\cdots +x_n^p}{n}\right)^{\frac{1}{p}}\). Neste caso, é tomar a desigualdade \(M_{-k}(x_1,\dots,x_n)\le M_1(x_1,\dots,x_n)\) e fazer umas manipulações algébricas para chegar ao pretendido.


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