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Bom dia!
Estou com dificuldades em perceber o cálculo do seguinte exercício:

\(a, b, c \in \mathbb{R},\\ \\ tais\ que \\ a^{2} + b^{2} + c^{2}=1 \\ \\ A=\begin{pmatrix} a^{2}-1 & ab & ac\\ ab & b^{2}-1 & bc\\ ac & bc & c^{2}-1 \end{pmatrix}\\ \\ Calcule A^{n}\ para\ n\geq 1 \\ Sugestao: escreva\ A\ como\ A=B-I, onde\ I\ e\ a\ matriz\ identidade.\)

Boas

esta é puxadita

\(A^n=(B-I)^n\)

Ora podes agora tentar diagonalizar a matriz \(B=P.D.P^{-1}\) onde \(D\) é uma matriz diagonal com os valores próprios, ou seja

\(D=\begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

sendo

\(B=\begin{bmatrix} a^2 & ab & ac\\ ab & b^2 & bc\\ ac & bc & c^2 \end{bmatrix}\)

Se reparares os valores próprios de B são \((0,0,a^2+b^2+c^2)=(0,0,1)\)

Então \(B^n=(P.D.P^{-1})^n=(P.D.P^{-1})(P.D.P^{-1})....(P.D.P^{-1})=PD^nP^{-1}\)

ora sabendo que \(D^n=D\) então \(B^n=B\)

agora sabes que

\(A^2=(B-I)^2=B^2-2B+I=B-2B+I=-B+I=-(B-I)=-A\)

\(A^3=(B-I)^3=(B-I)^2(B-I)=-(B-I)(B-I)=-(B-I)^2=(B-I)=A\)

ora \(A^n=(-1)^{n+1}A\)

se as contas não me falham

Saudações pitagóricas

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Obrigada

Amanhã, vou colocar em prática a dica!