Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 14 jun 2021, 18:57

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 2 mensagens ] 
Autor Mensagem
 Título da Pergunta: PA E PG - Progressão Geométrica
MensagemEnviado: 14 abr 2021, 12:01 
Offline

Registado: 23 abr 2017, 02:42
Mensagens: 6
Localização: Fortaleza
Agradeceu: 3 vezes
Foi agradecido: 0 vez(es)
Considere uma PG em que a razão é um número natural não nulo, sabendo que o logaritmo do enésimo termo na base igual a razão da sequência é igual a 6, que o logaritmo do produto dos n primeiros termos na base igual a razão da sequência é igual a 20 e que o produto entre o primeiro e o enésimo termo da sequência é igual a 243, determine o valor da soma dos n primeiros termos dessa sequência.

Anexo:
Imagem1.gif
Imagem1.gif [ 3.09 KiB | Visualizado 383 vezes ]


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 03 jun 2021, 01:26 
Offline

Registado: 25 mar 2012, 19:59
Mensagens: 1022
Localização: Rio de Janeiro - Brasil
Agradeceu: 112 vezes
Foi agradecido: 201 vezes
Olá FISMAQUI!

De acordo com o enunciado, temos:

\(\bullet \qquad \mathsf{\log_q a_n = 6 \Rightarrow a_n = q^6 \ \qquad \quad \quad (i)}\)

\(\bullet \qquad \mathsf{\log_q \left ( a_1 \cdot a_2 \cdot \ ... \ \cdot a_n \right )= 20 \qquad (ii)}\)

\(\bullet \qquad \mathsf{a_1 \cdot a_n = 243 \qquad \qquad \qquad \qquad (iii)}\)


Substituindo \(\mathsf{(i)}\) na fórmula \(\mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}}\)...

\(\mathsf{a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}}\)

\(\mathsf{q^6 = a_1 \cdot q^{n - 1}}\)

\(\mathsf{a_1 = \frac{q^6}{q^{n - 1}}}\)

\(\mathsf{a_1 = q^{6 - n + 1}}\)

\(\boxed{\mathsf{a_1 = q^{7 - n}}}\)


Substituindo em \(\mathsf{(iii)}\),

\(\mathsf{a_1 \cdot a_n = 243}\)

\(\mathsf{a_1 \cdot \left ( a_1 \cdot q^{n - 1} \right ) = 3^5}\)

\(\mathsf{\left ( a_1 \right )^2 \cdot q^{n - 1} = 3^5}\)

\(\mathsf{\left ( q^{7 - n} \right )^2 \cdot q^{n - 1} = 3^5}\)

\(\mathsf{q^{2(7 - n) + n - 1} = 3^5}\)

\(\mathsf{q^{13 - n} = 3^5}\)

Com efeito, \(\boxed{\mathsf{q = 3}}\) e \(\boxed{\mathsf{n = 8}}\).

Ademais, teremos:

\(\mathsf{a_1 = q^{7 - n}}\)

\(\mathsf{a_1 = 3^{7 - 8}}\)

\(\boxed{\mathsf{a_1 = \frac{1}{3}}}\)


Por conseguinte,

\(\mathsf{S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n}\)

\(\mathsf{S_n = a_1 + a_1 \cdot q + a_1 \cdot q^2 + ... + a_1 \cdot q^{n - 1}}\)

\(\mathsf{S_n = a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} \right ) \qquad \qquad \times (q}\)

\(\mathsf{q \cdot S_n = q \cdot a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} \right )}\)

\(\mathsf{q \cdot S_n = a_1 \cdot \left ( q + q^2 + ... + q^{n - 1} + q^n \right )}\)


Fazendo \(\mathsf{S_n - q \cdot S_n}\),

\(\mathsf{S_n - q \cdot S_n = a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} \right ) - a_1 \cdot \left (q + q^2 + ... + q^{n - 1} + q^n \right )}\)

\(\mathsf{S_n \cdot (1 - q) = a_1 \cdot \left ( 1 + q + q^2 + ... + q^{n - 1} - q - q^2 - ... - q^{n - 1} - q^n \right )}\)

\(\mathsf{S_n \cdot (1 - q) = a_1 \cdot \left ( 1 - q^n \right )}\)

\(\mathsf{S_n = \dfrac{a_1 \cdot \left ( 1 - q^n \right )}{1 - q}}\)

\(\mathsf{S_8 = \dfrac{\frac{1}{3} \cdot \left ( 1 - 3^8 \right )}{1 - 3}}\)

\(\mathsf{S_8 = \frac{1}{3} \cdot \dfrac{\left ( 1 - 3^8 \right )}{- 2}}\)

\(\boxed{\boxed{\mathsf{S_8 = \dfrac{1}{6} \cdot \left ( 3^8 - 1 \right )}}}\)

_________________
Daniel Ferreira
se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA


Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 2 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 2 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para: