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Em geral, o mais simples é proceder à condensação da matriz aumentada do sistema (o segundo membro é acrescentado como uma última coluna à matriz de sistema).
\(\left(\begin{array}{ccc|c}4 & 1 & -\alpha/2 & -1\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 1 & 0 & \alpha & 0\end{array}\right) \to \left(\begin{array}{ccc|c}4 & 1 & -\alpha/2 & -1\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & -1/4 & 9\alpha/8 & 1/4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc|c}4 & 1 & -\alpha/2 & -1\\ 0 & 3 & 1 & 2\\ 0 & 0 & \frac{9\alpha}{8} + \frac{1}{12} & \frac 14+\frac 16\end{array}\right)\)
Como a matriz já está em forma de escada (o primeiro elemento não nulo de cada linha surge numa coluna de índice superior ao mesmo elemento na linha anterior) já podemos calcular a característica da matriz de sistema, assim como da matriz aumentada, que designamos por r(A) e R(A|b). Quando a matriz se encontra em forma de escada a sua característica corresponde ao número de linhas não nulas.
* O sistema é possível se e só se r(A)=r(A|b). Consegue ver o que se passa neste caso?
* No caso de o sistema ser possível, definimos o número de graus de liberdade (ngl) como sendo a diferença entre o número de colunas (variáveis) e a característica. Se ngl=0 o sistema é possível e determinado (uma só solução). Se ngl = k > 0 o sistema diz-se possível com k graus de liberdade, o que significa que temos uma infinidade de soluções que se podem expressar como combinação linear de k vectores linearmente independentes.
Tente analisar o sistema que propôs e diga qq coisa.
OBS: Para esta pergunta concreta poderia simplesmente ver para que valores do parâmetro o determinante é não nulo, porém, fazendo a condensação para responder a (a) já fica com (b) praticamente resolvida.
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