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2) De um ponto A situado numa das margens de um rio, de 100m de largura, deve-se levar a energia elétrica no ponto C situado na outra margem do rio. O fio a ser utilizado na água custa 5 reais o metro, e o que será utilizado fora da água custa 3 reais o metro. Como deverá ser feita a ligação para que os gastos com os fios seja o menor possivel?

Boa tarde,

Creio que falte algo no enunciado. Do jeito que tá posto seria ligar a parte sobre o rio em linha reta para se gastar o mínimo.
Você poderia, por favor, confirmar o enunciado ou completá-lo?

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Fraol
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o enunciado não fala a posição do ponto C.

Boa noite leticialek96,

Para não ficar sem algum encaminhamento, vamos imaginar o seguinte:

Na margem oposta ao ponto A, numa linha de 90 graus com as margens supostamente parelas, temos um ponto A'.

Entre os pontos A' e C temos um ponto B em uma posição qualquer entre os dois.

Da mesma forma que A' temos um B' e C' na mesma margem que A.

Dessa forma temos que \((AB) = \sqrt{(AB')^2 + (BB')^2}= \sqrt{(AB')^2 + 10000}\).

O Custo, chamemos de V, é: \(V = 5 \cdot \sqrt{(AB')^2 + 10000} + 3 \cdot ( AC' - AB')\).


Olhando para esta expressão, você poderá ver porque eu creio que falte alguma informação para completar o problema. Nela o custo V é uma função de AB'. Além disso possui uma constante AC' que é a distância total em linha reta, paralela à margem, do ponto A até o ponto C'.

Se você tem essa distância, então pode derivar a expressão de V você obterá o seguinte:

\(V' = \frac{5AB'}{\sqrt{(AB')^2 + 10000}} - 3\)

Daí, basta igualar essa derivada a 0 para encontrar um ponto (crítico) que pode ser o de mínimo (para confirmar deveria derivar novamente e analisar o sinal dessa segunda derivada no ponto). Uma vez que você determina AB', sabendo AC' conseguirá concluir o exercício.

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Fraol
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