Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Meu professor passou um trabalho de pesquisa sobre "Limites que geram funções derivadas", alguém pode me ajudar. (Tenho que entregar um exemplo respondido)

Vc se referir a isto \(\\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{f(x)-f(p)}{x-p}\) ?

por exemplo a derivada de \(f(x)=2x-1\) :

\(\\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{2x-1-2p+1}{x-p} \\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{2x-2p}{x-p} \\\\ \lim_{x\rightarrow p}\frac{2(x-p)}{x-p} =2\)


se não for isto,bastar teclar aí

Desculpa, esqueci de escrever que são limites que geram derivadas parciais.

Bom, vamos lá
Seja \(f=f(x,y)\) uma função definida a duas variáveis 'x' e 'y', tal que \(\frac{\partial f}{\partial x}\) seja sua derivada parcial em relação a 'x'.

Sabemos que para \(f(x)\):
\(\frac{df}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)

Fazendo uma extensão para duas variáveis, vem que:
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\lim_{\Delta y\rightarrow 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}\)


Um exemplo: \(f(x,y)=xy+x^2-y^2\)
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{(x+\Delta x)y+(x+\Delta x)^2-y^2-(xy+x^2-y^2)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{xy+y\Delta x +x^2+2x\Delta x+\Delta x ^2-y^2-xy-x^2+y^2}{\Delta x}\)
\(=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\frac{y\Delta x+2x\Delta x+\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}y+2x+\Delta x=y+2x\)

Concluímos que \(\frac{\partial f}{\partial x}=y+2x\), que é verdadeiro!
Fica a dica para determinar \(\frac{\partial f}{\partial y}\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida, sinalize.

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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei