Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Por favor me ajudem com esse limite.

\(\lim_{x->1} \frac{\sqrt[3]{x^2} - 2\sqrt[3]{x} +1}{(x-1)^2}\)


obrigado

olá

\(\\\\\\ \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2*\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}} \\\\\\ \lim_{x\rightarrow 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)^{2}}{(x-1)^{2}} \\\\\\ (\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)}{(x-1)})^{2} \\\\\\ (\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)}{(\sqrt[3]x-1)*(\sqrt[3]x^{2}+\sqrt[3]{x}+1)})^{2} \\\\\\ (\lim_{x\rightarrow 1} \frac{1}{\sqrt[3]x^{2}+\sqrt[3]{x}+1})^{2}=\frac{1}{9}\)


qualquer dúvida estamos á disposição

se não for pedir muito poderia simplificar mais o calculo? Não consegui entender como chegou ao resultado.
De qualquer forma muito obrigado pela ajuda.

\(\\\\\\ \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-2*\sqrt[3]{x}+1}{(x-1)^{2}}\)

aqui repare que \(\sqrt[3]{x^{2}}-2*\sqrt[3]{x}+1=(\sqrt[3]{x}-1)^{2}\)

então ficamos com:

\(\\\\\\ \lim_{x\rightarrow 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)^{2}}{(x-1)^{2}}\)

agora vemos que o numerador e denominador estão elevado a dois,então vamos usar a propriedade de continuidade do limite e passa o expoente para fora.

\(\\\\\\ (\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)}{(x-1)})^{2}\)

agora lembre da seguinte propriedade: \(a^{3}-b^{3}=(a-b)*(a^{2}+ab+b^{2})\), foi aplicado aqui: \((x-1)=(\sqrt[3]x-1)*(\sqrt[3]x^{2}+\sqrt[3]{x}+1)\)

então ficamos com:

\(\\\\\\ (\lim_{x\rightarrow 1} \frac{(\sqrt[3]{x}-1)}{(\sqrt[3]x-1)*(\sqrt[3]x^{2}+\sqrt[3]{x}+1)})^{2}\)

att mais qualquer coisa é só falar.

Agora ficou claro.
Muito obrigado.