Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá, podem me ajudar?

Um plano secciona uma esfera determinando um círculo de raio igual à distância m do plano ao centro da esfera. Determine a razão entre a área da seção e a área do circulo maior da esfera.

Cara Jessica Araujo, eu não sei a resposta. Não estou seguro, e, portanto, não dê como correta a minha explicação.

Mas vamos pensar juntos.

Vamos desenhar uma esfera e, antes de desenhar o plano que a secciona, imaginemos o momento apenas em que a lâmina imaginária toca um ponto qualquer da esfera com a intenção de cortá-la.

Este ponto tem a distância ao centro da esfera na mesma medida do raio da esfera, certo?

Agora forcemos a lâmina e cortemos a esfera naquele ponto. Será gerado um círculo, que é a borda da calota retirada da esfera.

Agora imagine que existe uma altura que vai do centro desse círculo ao ponto de corte, correto?
E veja que existe uma linha que liga o raio desse círculo ao centro da esfera.

Há um triângulo aí.

Esta altura é o raio do círculo e é um dos catetos.
Vamos chamá-lo de \(r_c\)

Veja também que a distância que vai desse ponto, o raio do círculo, ao centro da esfera é a mesma do plano ao centro da esfera, o tal 'm', certo? É o outro cateto.

Veja aí que já temos um triângulo-retângulo formado pela distância do centro da esfera ao ponto de corte e que é a nossa hipotenusa e juntamente os dois catetos. E esta hipotenusa é também o raio da esfera, que chamaremos de \(r_e\).

Então, por Pitágoras,

\(m^2+(r_c)^2=(r_e)^2\)

Isto pode nos dar uma relação na qual podemos explicitar o raio do círculo e, por ele, calcular sua área.

\(r_c=\sqrt{(r_e)^2-m^2}\)

A área do círculo, então, é

\(A_c=\pi (r_c)^2\)

\(A_c=\pi(\sqrt{(r_e)^2-m^2})^2\)

Cancelando a potência e a raiz entre si,

\(A_c=\pi[{(r_e)^2-m^2}]\)

A área do círculo máximo da esfera é obtida por

\(A_e = \pi (r_e)^2\)

Assim, a razão entre a área do círculo máximo e a área do círculo que secciona a esfera é

\(\frac{A_e}{A_c}=\frac{ \pi (r_e)^2}{\pi{[(r_e)^2-m^2]}}\)

\(\frac{A_e}{A_c}=\frac{ (r_e)^2}{{(r_e)^2-m^2}}\)

E isto mostra que o plano não pode ser tangente à esfera, pois \(m\) se igualaria a \(r_e\) e a relação tenderia a infinito, pois não teria sentido não haver corte e haver uma relação entre áreas.
E também um círculo obtido por um corte inexistente tem raio zero, o que confirma a impossibilidade.

Será que cometi alguma barbaridade?

Abração,
Mauro

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Mauro Trerotola
Frase que mais gosto: "Não sabendo que era impossível, foi lá e fez!"