Fórum de Matemática
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Olá!

Alguém poderia me ajudar a calcular
\(\int \text sen \sqrt x dx\)

Estou tentando resolver um exercício no livro de james stewart (exercício 27, capítulo 7.1). É pedido para aplicar primeiro uma substituição e depois aplicar integração por partes.

Já fiz algumas tentativas e chego em

\(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x}\)

quando o resultado deveria ser

\(2(-\sqrt{x} \text{cos} \sqrt{x} + \text{sen} \sqrt{x})\)

Obrigado.

Meu caro

Respondo-lhe a essa questão com todo o gosto

O que quer calcular é a seguinte primitiva:

\(P sen{\sqrt{x}}\)

Façamos a seguinte substituição: \(\sqrt{x}=t\)

Temos então que:

\(x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t\)

Substituindo ficamos então com:
\(P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t\)

Aplicamos agora a primitivação por partes

\(u'=sen{t} \ \ u=-cos{t} \\
v=2t \ \ v'=2\)

\(P sen{(t)}2t = -cos(t)2t-P2(-cos(t))= -cos(t)2t+2Pcos(t)=\\
=-cos(t)2t+2.sen(t) + C = 2 (-t.cos(t)+sen(t)) + C\)

fazendo agora a substituição inicial \(t=\sqrt{x}\)

\(=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C\)

Volta sempre meu caro

_________________
João Pimentel Ferreira
 
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Muito obrigado pela resposta mas ainda me restou uma dúvida

Eu praticamente a mesma coisa entretanto retirei o multiplicador 2 da variável t para fora da integral... assim:

\(\int 2t \text{sen}t dt = 2 \int t \text{sen} dt\)

e continuei integrando por partes...

é errado retirar o 2 para fora da integral ao fazer isso? se sim, porque? dado que a

\(\int a f(x) dx = a \int f(x)\)

Muito obrigado

Não é errado tirar o 2.

Pode fazer com o 2 fora ou dentro do integral. É indiferente

\(\int{af(x)}dx=a\int{f(x)}dx\)

Resolvendo o que pretende por partes temos:

\(2\int{t.sen(t)}dt=2(-cos(t).t-\int{(-cos(t))}dt)=\\
=2(-cos(t).t+\int{cos(t)}dt)=\\
=2(-cos(t).t+sen(t))\)

Fazendo \(t=\sqrt{x}\) tem o resultado que pretende

Saudações matemáticas

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João Pimentel Ferreira
 
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