Fórum de Matemática
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O limite existe independentemente de a. Acho que deviam era querer saber que valor de a torna essa função prolongável por continuidade.

Aí, temos

\(\lim_{x \to 2} \frac{x^2-4}{x-2}=\)
\(\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2}=\)
\(\lim_{x \to 2}(x+2)=4\)

Logo a deve ser 4 para que a função seja prolongável por continuidade. O limite é sempre 4

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José Sousa
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O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Veja bem: Se não dermos um valor para "a" o gráfico da função que está apresentada por \(f(x)=)(x^2-4)/(x-2)\) terá um buraco em f(2). Perceba que se trata de uma reta não definida em x=2. Perceba também que ao fatorar a expressão acima teremos \((x-2)(x+2)/(x-2)\) que vai gerar \(f(x)=(x+2)\)
Assim podemos analisar que f(2) na reta indicada na figura resulta 4, ou seja, o valor que deve ser atribuído a "a" fechando o buraco novamente, ou seja garantindo a continuidade. A informação do amigo Jose está correta. O limite existe independente de "a". Com este processo apenas garantimos a continuidade naquele ponto.