Olá
4y²+16y+x²+8x+28=0
\(x^{2}+8x+16+4y^{2}+16y+16+28-16-16=0 \\\\\\ (x+4)^{2}+(2y+4)^{2}=4 \\\\ \frac{(x+4)^{2}}{4}+\frac{(2(y+2))^{2}}{4}=1 \\\\ \frac{(x+4)^{2}}{4}+\frac{2^{2}*(y+2)^{2}}{4}=1 \\\\ \frac{(x+4)^{2}}{4}+(y+2)^{2}=1\)
temos que é uma elipse com eixo maior virado para o eixo "x",com centro em (-4,-2).
repare que os vértices distam uma distância 2 do centro , e possuem mesma ordenada,então pela fórmula da distancia dos pontos obtemos:
\(2=\sqrt{(x+4)^{2}+(-2+2)^{2}} \\\\ 2=|x+4|\) , repare aqui que obtemos \(x=-2\) e \(x=-6\) , então os vértices serão \((-2,-2)\) e \((-6,-2)\).
agora vamos ao focos, da relação a²=b²+c² temos : \(4=1+c^{2} \\\\ c=\sqrt{3}\).
sabemos então que os focos distam do centro \(\sqrt{3}\) e possuem novamente mesma ordenada, então pela fórmula da distancia dos pontos:
\(\sqrt{3}=\sqrt{(x+4)^{2}+(-2+2)^{2}} \\\\ \sqrt{3}=|x+4|\) , reolvendo obtemos \(x=sqrt{3}-4\) e \(x=-4-\sqrt{3}\) , os focos são: \((\sqrt{3}-4,-2)\) e \((-4-\sqrt{3},-2)\)
os extremos do eixo menor :
sabemos que possuem a mesma abcissa e distam 1 do centro então:
\(1=\sqrt{(-4+4)^{2}+(y+2)^{2}} \\\\ 1=|y+2|\) , segue que \(y=-1\) e \(y=-3\) ,então os extremos do eixo menor serão : (-4,-1) e (-4,-3).
um esboço:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=4y ... x%2B28%3D0confesso que não sei do que se trata o eixo focal e o eixo normal,poderia explanar???
att e cumprimentos
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