Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse \(x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1\).
Eu isolei o y na equação da elipse e substitui no perimetro p(x,y)=4(x+y), depois fiquei com uma função que só depende de x, ai eu derivei, só que não tô achando o resultado correto, por favor me ajudem.

Ontem resolvi para você um parecido. para não repetir o cálculo, pode colocar as contas que fez para eu ver qual é o problema? Porque você parece saber o método!

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José Sousa
_{se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org}

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928

Não é preciso reduzir a uma funçao apenas da variável x. Podemos resolver a questão como um problema de optimizaçao condicionada. Pretendemos maximizar a função \(p(x,y)=4x+4y\) sujeita à restrição \((x/a)^2 + (y/b)^2 = 1\). Os extremantes locais são pontos críticos da função Lagrangeana

\(\mathcal{L} (x,y,\lambda) = 4x+4y + \lambda((x/a)^2+(y/b)^2-1)\)

ou seja, serão soluções do sistema

\(\left\{ \begin{array}{l}
\textrm{4} + 2\lambda x/a^2 = 0\\ 4 + 2 \lambda y/b^2 = 0 \\ x^2/a^2+y^2/b^2=1\\
\end{array} \right. \Leftrightarrow ]\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{-2a^2}{\lambda} \\ y= \frac{-2b^2}{\lambda} \\\lambda = \pm 2 \sqrt{a^2+b^2}\\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{\pm a^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ y= \frac{\pm b^2}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ -
\end{array} \right.\)

consegue concluir?