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uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12m^2 de papelão. Determine as dimensões desta caixa de modo que o seu volume seja máximo.Qual é o seu volume máximo em m^3?

Olá


vou fazer por multiplicadores de lagrange:


sabendo que o volume é dado por \(V(x,y,z)=xyz\) e área sem a tampa é \(A(x,y,z)=2xz+2yz+xy=12\),então:


\(\nabla V= \lambda \nabla A\).

então:

\((yz,xz,xy)=\lambda (2z+y,2z+x,2x+2y)\)



\(yz=\lambda (2z+y)\)

\(xz=\lambda (2z+x)\)

\(xy=\lambda (2x+2y)\)

\(2xz+2yz+xy=12\)


multiplique dois membros da primeira equação por x , depois multiplique dois membros da segunda equação por y e por ultimo multiplique dois membros da terceira equação por z ,obtendo:


\(xyz=\lambda (2xz+xy)\) , \((I)\)

\(xyz=\lambda (2yz+xy)\) , \((II)\)

\(xyz=\lambda (2xz+2yz)\) , \((III)\)

\(2xz+2yz+xy=12\) , \((IV)\)



Iguale \((I)\) e \(II\) :


\(\lambda (2xz+xy)=\lambda (2yz+xy)\)


\(\lambda (2xz+xy)-\lambda (2yz+xy)=0\)


\(\lambda (2xz+xy- 2yz-xy)=0\)


\(\lambda (2xz- 2yz)=0\)


então : \(\lambda=0\) ou \(2xz-2yz=0\) , não podemos ter \(\lambda=0\),caso contrário zeraria a primeira expresssão ficaria \(xyz=0\) , o que não pode ter acontecer,pois queremos o volume máximo.

segue,então que:


\(2xz-2yz=0\)


\(xz-yz=0\)


\(z(x-y)=0\)

de novo não podemos ter \(z=0\),senão zeraria o volume, então : \(x-y=0 \rightarrow x=y\)


Vamos fazer o mesmo procedimento para as equações \((II)\) e \((III)\) :


\(\lambda (2yz+xy)=\lambda (2xz+2yz)\)


\(\lambda (2yz+xy)-\lambda (2xz+2yz)=0\)


\(\lambda(2yz+xy-2xz-2yz)=0\)


\(\lambda(xy-2xz)=0\)


não podemos ter \(\lambda =0\) , conforme vimos anteriormente , então:

\(xy-2xz=0\)


\(x(y-2z)=0\)


tbm não podemos ter \(x=0\) , senão zeraria o volume,segue:

\(y=2z\)


daí teremos : \(x=y=2z\), substituindo em \((IV)\):

\(4z^2+4z^2+4z^2=12\)


\(12z^2=12\)


\(z=1\) ou \(z=-1\), devemos tomar \(z=1\) , já que \(\text {x,y e z }\) tem que ser positivos.

daí: \(x=2\) , \(y=2\) e \(z=1\).


o volume máximo será : \(V(2,2,1)=4\) .


Poderia fazer tbm assim:

\(2xz+2yz+xy=12\) , isolando z ficaria:

\(z=\frac{12-xy}{2x+2y}\)


substituia na expressão do volume:

\(V(x,y)=\frac{12xy-x^2y^2}{2x+2y}\)


Faça as derivadas parciais desta função e iguale a zero.Com os valores de x,y e z determine o volume máximo.



att e cumprimentos

nesta equação eu cheguei,mais depois que derivo em x e em y não consigo resolver o sistema .

-2x^2y^2+4x^3+24y^2=o
(2x+2y)^2

-2x^2y^2+4x^3+24x^2=0
(2x+2y)^2

Derivando em relação a x, vc chega em :

\(\\\\\\ \frac{\partial V}{\partial x}=\frac{y^2(12-2xy-x^2)}{2(x+y)^2}\)

iguale a zero,ficando com:

\(y^2(12-2xy-x^2)=0\)


derive em relação a y,ficando com:

\(\\\\\\ \frac{\partial V}{\partial y}=\frac{x^2(12-2xy-y^2)}{2(x+y)^2}\)


iguale a zero:

\(x^2(12-2xy-y^2)=0\)


então temos o seguinte:

\(y^2(12-2xy-x^2)=0\)

\(x^2(12-2xy-y^2)=0\)


não devemos ter \(x^2=0 \rightarrow x=0\) ou \(y^2=0 \rightarrow y=0\), senão teríamos volume nulo.

então vc precisar resolver:

\(12-2xy-x^2=0\)

\(12-2xy-y^2=0\)


segue-se:

\(12-2xy-x^2=12-2xy-y^2\)

de onde temos:

\(-x^2=-y^2\)

\(x^2=y^2\)

\(x=y\)

substitua em :

\(12-2xy-x^2=0\)

obtendo \(x=-2\) ou \(x=2\), tome o positivo,então \(x=y=2\) , para achar \(z\) bastar substitui em :

\(z=\frac{12-xy}{2x+2y}\)

que dará \(z=1\).

então o máximo volume é : \(V(2,2,1)=4\) .


att