Fórum de Matemática
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\(\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}} + \sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}} + ... + \sqrt{1+\frac{1}{(x-1)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}} = 2006 - \frac{1}{2005}\) . Na expressão anterior x é igual a :


Obs: Não tem gabarito.
Fonte : http://www.rumoaoita.com/site/attachmen ... oracao.pdf

Sugestão :

Reescrevemos esta soma sob a forma compacta

\(\sum_{i= 3}^x \sqrt{1 + \dfrac{1}{(i-1)^2} + \dfrac{1}{i^2} } = \sum_{i= 3}^x \sqrt{ \frac{i^2(i+1)^2 +(i-1)^2 + i^2 }{i^2(i-1)^2}} = \sum_{i= 3}^x \dfrac{\sqrt{i^2(i+1)^2 +(i-1)^2 + i^2}}{i(i-1)} = \sum_{i= 3}^x \dfrac{\sqrt{(i^2-i + 1)^2 }}{i(i-1)} = \sum_{i= 3}^x \dfrac{i^2-i + 1}{i(i-1)} = x-2 + \sum_{i=3}^x \frac{1}{i(i-1)} = x-2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{x}\) ,pois ,

\(\sum_{i=3}^x \frac{1}{i(i-1)}= \sum_{i=3}^x \frac{1}{i-1} - \frac{1}{i} = \sum_{i=3}^x \frac{1}{i-1} - \sum_{i=3}^x \frac{1}{i} = \frac{1}{2} - \frac{1}{x} +\sum_{q=3}^{x-1} \frac{1}{q} - \sum_{q=3}^{x-1}\frac{1}{i}\) .

Agora tente concluir .

Esta é uma questão muito estranha pois eu cheguei no mesmo resultado algébrico que você e segue que :


\(x - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}- 2 = 2005 - \frac{1}{2005} + 1\) , o que é um absurdo para x = 2005


Não consigo achar o erro no meu procedimento ou a questão está errada.