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Estou fazendo a modelagem matemática de um problema para otimização, usando restrições lineares. Tenho uma variável x que representa quantos % investir em cada empresa. Tenho uma outra variável y binária que representa se a empresa foi escolhida para investimento (um) ou não (zero). Preciso criar uma restrição que ligue estas duas variáveis, ou seja, se y = 0 então x tem de ser zero também. Se y = 1, então x tem de ser maior que zero e menor que 1. Não consegui pensar em uma restrição que garanta isso. Alguma sugestão? Obrigado.

Se colocar uma restrição do tipo \(x_i - y_i \leq 0\) deverá funcionar. Desse modo, se \(y_i = 0\), como \(0 \leq x_i \leq 1\), teremos forçosamente \(x_i = 0\).

O problema é que esta restrição só funciona para o caso onde y = 0. Mas se y = 1, a restrição permite que o x seja igual a zero, o que não pode ser verdade, já que a empresa foi escolhida para investimento (y = 1) e neste caso o x tem de ser necessariamente maior que zero.

Caro Kenshin,

Se y=1 deixe as outras restrições trabalharem... Apesar de não estar excluída a possibilidade de x ser zero, essa não será provavelmente a solução óptima. Para dizer alguma coisa mais concreta terá que colocar aqui o modelo completo, mas possivelmente conseguirá mostrar que uma solução com y=1 e x=0 não pode ser optimal.

Este problema é usual em programação linear... Estuda-se um problema "relaxado", neste caso admitimos que x possa ser zero, mas, determinada uma solução do problema relaxado, se ela verificar todas as restrições, vai ser solução do problema original.

O problema consiste em Max \(\sum _{i}x^{i}r^{i}\)
\(\sum x^{i}v^{i} <= padrao, \sum x^{i}l^{i} >= padrao, \sum x^{i}m^{i} >= padrao, \sum y^{i} <= 3 (por exemplo)\)

onde v representa a volatilidade das empresas, m a margem de contribuição, l a liquidez e r o retorno. Os valores do lado direito das restrições são definidos de acordo com a carteira do Ibovespa no mesmo período de análise (o modelo foi rodado por trimestre). No primeiro teste, aconteceu exatamente isso, o y = 1 e o x = 0 para uma empresa específica.