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Boa noite,
Vou delinear a argumentação aqui, então você pode melhorar (formalizar) o texto da demonstração.
\(I)\) No intervalo dado, \([0, \pi/2]\), Se compusermos uma função \(f^*(x) = x^2 - cos(x)\), então \(f^*\) será contínua, pois é a composta de duas funções contínuas e temos que \(f^*(0) = - 1\) e \(f^*(\pi/2)=\pi^2/4\).
Então existe um certo \(y\) tal que \(f^*(y) = 0\), isto é: \(y^2 = cos(y)\).
\(II)\) No intervalo dado, \([0, \pi/2]\), \(cos(x)\) é decrescente, vai de \(1\) até \(0\). Nesse mesmo intervalo \(x^2\) é crescente, vai de \(0\) até \(\pi^2/4\). Então:
\(III)\) Para \(x < y\) temos que \(f(x) = sup\left \{ x^2, cos(x) \right \} = cos(x) > cos(y)\) o que implica em \(f(y) \le f(x)\).
\(IV)\) Para \(x > y\) temos que \(f(x) = sup\left \{ x^2, cos(x) \right \} = x^2 > y^2\) o que implica em \(f(y) \le f(x)\).
De \(I)\) a \(IV)\) acima concluímos \(f: \[0, \pi/2 \] \rightarrow R; f(x) = sup\left \{ x^2, cos(x) \right \}; \exists y \in \[0, \pi/2 \] \tex{, tal que } f(y) \lef(x), \forall x \in \[0, \pi/2 \] \text{ e que y eh a solucao de } x^2 = cos(x)\).
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Fraol
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