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Olá amigos, estou com uma pequena dúvida no seguinte exercicio.

"Determinar a equação de uma superfície esférica que é tangente ao plano x - y + 2z -6 = 0 no ponto M (1, 1, 3) e cujo centro se encontra no plano x - 2y + z - 7 = 0."

Ok, para descobrir a equação da superfície esférica necessito encontrar o raio e as coordenados do centro da esfera, que possui equação da seguinte forma (x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = r², em que a, b e c são as coordenadas do centro da esfera.

Fiz de uma maneira que não utilizasse o segundo plano, mas estava errado quando fui conferir se o centro que achei pertencia ao segundo plano. Se alguém puder me explicar somente como fazer, somente a parte teórica, ficaria muito agradecido.

Devido à condição de tangência no ponto (1,1,3), quando partimos desse ponto perpendicularmente ao plano (portanto da direcção do vector (1,-1,2)), acabaremos por chegar ao centro da esfera. O centro da esfera pode então ser identificado determinando o valor que k para o qual (1,1,3) + k(1,-1,2) pertence ao segundo plano, i.e.

\((1+k) - 2 (1-k) + (3+2k) - \mathrm{7} = 0 \Leftrightarrow k = \mathrm{1}\)

Assim, o centro da esfera será o ponto (1,1,3)+(1,-1,2) = (2,0,5) e o respectivo raio será \(r=d((1,1,3),(2,0,5))=\sqrt{1^2+1^2+2^2} = \sqrt{6}\). Finalmente, a equação da superfície esférica será

\((x-2)^2 + y^2 + (z-5)^2=6.\)

Pode visualizar por exemplo na Mathematica (Wolfram) com os comandos

p1 = ContourPlot3D[
x - y + 2*z - 6 == 0, {x, -2, 6}, {y, -4, 4}, {z, 1, 9}];
p2 = ContourPlot3D[
x - 2*y + z - 7 == 0, {x, -2, 6}, {y, -4, 4}, {z, 1, 9}];
p3 = ContourPlot3D[(x - 2)^2 + y^2 + (z - 5)^2 - 6 == 0, {x, -2,
6}, {y, -4, 4}, {z, 1, 9}];
Show[p1, p2, p3]

(figura em anexo)

Obrigado pelo auxilio, ajudou bastante, principalmente com a construção da superfície esférica.