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Considere a matriz A

\(\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 & 0\\ 0& 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)


a) Determine o subespaço S = {AX : X ∊ R^4}



Obrigado

Neste caso o mais fácil é construir explicitamente o subespaço. Qualquer elemento do subespaço em causa (que tem dimensão 3, considerando a característica da matriz) é da forma
\(\left(\begin{array}{c}x_1+x_2+2 x_3\\ -x_3+x_4\\x_1+x_2-2x_4\end{array}\right) = (x_1+x_2)\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)+x_3\left(\begin{array}{c}2 \\ -1\\0\end{array}\right)+x_4\left(\begin{array}{c}0\\0\\-2\end{array}\right)\)

Sendo os três vectores indicados linearmente independentes, formam uma base do subespaço pretendido, i.e.

\(S = span\{(1,0,1), (2,-1,0),(0,0,2)\}.\)