Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá meus caros. Andei meio sumido por alguns motivos, entre eles o trabalho que andei desempenhando nos mês de dezembro/janeiro, e o estudo para o vestibular da Faculdade de Direito (estava ambicionando entrar em uma segunda universidade). Desde já, quero agradecer a todos pela a ajuda que me deram no ano passado, ela foi crucial para minha aprovação em Economia na EPGE - FGV (instituição a qual frequento atualmente).

Enfim, estou passando por um período de revisão de matemática atualmente, e estou meio enferrujado. Segue abaixo o exercício no qual emperrei:

Dar o resultado de:

A) \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\)

B) \(|x^2-x-6|\geq |x+2||x-3|\)

C) \(\frac{(x-1)}{2} +3 < 3x-4 \leq 5-\frac{(1-3x)}{6}\)

Espero poder contar com a ajuda de vocês nesse novo ano, e assim que possível voltarei a contribuir em matemáticas do ensino médio (já não tenho mais tanto tempo como no ano passado).

Obs: eu sei que não se pode postar mais de um exercício no fórum, mas note que é somente um exercício e que seria uma bagunça muito maior abrir 3 tópicos para essas 3 letras que não consegui resolver.

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Ciências Econômicas - EPGE/FGV

Caro amigo, se já nos conhecesse de matemáticas anteriores já devia também conhecer as regras da casa
viewtopic.php?f=66&t=3793

Ficamos felizes que o tenhamos ajudado, mas como calcula não somos máquinas, somos gente que fazemos isto por gosto e filantropia

Assim vamos responder apenas a A)

a forma mais fácil de abordar estes problemas é dividir o \(x\) em vários troços lembrando-se sempre da regra

\(|x|=\left\{\begin{matrix} x,\ x\geq 0\\ -x,\ x<0 \end{matrix}\right.\)

então deduz-se da regra que

\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)

\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)

também que

\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)

\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)

e assim em diante

depois divida a reta \(\R\) em vários troços (por exemplo -7/3 e 3 são pontos que separam troços) e a cada troço substitua os módulos pelo respetivo caso..

Consegue avançar?

PS: e já que o ajudámos dê uma ajuda por aqui nas que souber, que as contribuições são sempre bem-vindas
search.php?search_id=unanswered

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João Pimentel Ferreira
 
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Salientei ali no final do tópico que "eu sei que não se pode postar mais de um exercício no fórum, mas note que é somente um exercício e que seria uma bagunça muito maior abrir 3 tópicos para essas 3 letras que não consegui resolver". Apenas achei que seria pertinente postar, já que realmente tentei fazer os três e não consegui (dos 20 do exercício, somente esses 3 ficaram faltando)

Quanto ao exercício respondido, muitíssimo obrigado.

E já sobre as contribuições, provavelmente não se lembra de mim, mas já contribui - não tanto quanto você ou outros membros - de forma significativa para a comunidade, sobretudo em matemática de nível médio. Não tenho feito isso atualmente por falta de tempo.

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Perdão caro Jzaiden

peço imensa desculpa, nem reparei que também é contribuidor oficial

Sabe, as perguntas são tantas que já estou a perder o meu lado humano, estando a ficar uma máquina de respostas de matemática e o cansaço às vezes é tal que nem leio a pergunta toda e nem vejo mesmo quem posta

As minhas sinceras desculpas

Sempre conseguiu resolver o problema? De certeza?
Se precisar do resto da resolução diga, que posto aqui

um abraço e sempre que voltar a tiver tempo, ajude aqui a comunidade

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João Pimentel Ferreira
 
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Que isso, não precisa pedir perdão. Tanto você quanto a comunidade aqui já me ajudaram de veramente.
Bom, de qualquer forma, não consegui entender a questão ainda. Se puder fazer detalhadamente passo a passo só a letra A mesmo, já ficaria muito grato.

E quanto as contribuições, provavelmente voltarei a contribuir daqui algumas semanas. Gosto de tentar resolver exercícios do que estou aprendendo (no caso, comecei a estudar Cálculo tem 3 dias), e assim que eu tiver uma base boa eu estarei aqui quebrando a cabeça em certas coisas.

Um abraço.

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com prazer meu caro

\(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\)

continuando, sabe-se que

\(|X|=\left\{\begin{matrix} X,\ X\geq 0\\ -X,\ X<0 \end{matrix}\right.\)

então deduz-se da regra que

\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ 7x+3\geq 0\\ -(7x+3),\ 7x+3<0 \end{matrix}\right.\)

\(|7x+3|=\left\{\begin{matrix} 7x+3,\ x\geq -7/3 \\ -7x-3,\ x<-7/3 \end{matrix}\right.\)

também que

\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ 3-x\geq 0\\ -(3-x),\ 3-x<0 \end{matrix}\right.\)

\(|3-x|=\left\{\begin{matrix} 3-x,\ x\leq 3\\ -3+x,\ x>3 \end{matrix}\right.\)

e

\(|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1,\ x+1\geq 0\\ -(x+1),\ x+1<0 \end{matrix}\right.\)

\(|x+1|=\left\{\begin{matrix} x+1,\ x\geq -1\\ -x-1,\ x<-1 \end{matrix}\right.\)

ficamos então na reta \(\R\) com 4 troços, separados pelos pontos -7/3, -1 e 3



Os quatro troços são então

\(x\in ]-\infty, -7/3]\)
\(x\in ]-7/3, -1]\)
\(x\in ]-1,3]\)
\(x\in ]3,+\infty[\)

a cada troço cada função módulo aplica um caso

Primeiro troço

quando \(x\in ]-\infty, -7/3]\) a nossa expressão \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\) fica igual a

\(-7x-3-3+x> 6(-x-1)\)

\(-6x-6> -6(x+1)\)

multiplicando tudo por -1/6

\(x+1>x+1\)

o que é sempre falso, logo \(x\in ]-\infty, -7/3]\) não faz parte do conjunto solução

Segundo troço

quando \(x\in ]-7/3, -1]\) a nossa expressão \(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1|\) fica igual a

\(7x+3-3+x> -6(x+1)\)

\(8x> -6x-1\)

\(14x>-1\)

\(x>-1/14\)

a nossa solução neste troço é então a interseção dos dois conjuntos ficando então com \(]-7/3, -1]\cap ]-1/14,+\infty[\) dando o conjunto vazio

agora é só fazer para os troços número 3 e 4

no final é só fazer a união dos conjuntos solução em cada troço

Repare que esta não é a única forma, nem porventura a mais rápida ou simples, mas é universal e serve para todos os casos independentemente da quantidade de módulos que tiver numa equação

PS: não garanto que os cálculos estejam certos...

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João Pimentel Ferreira
 
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outra forma de resolver este problema é lembrar-se que se

\(|X|<a\) equivale a

\(-a<X<a\)

\(X>-a\ \wedge \ X<a\)

e que

\(|X|>a\) equivale a

\(X<-a\ \vee \ X>a\)



então resolvendo

\(|7x+3|+|3-x|> 6|x+1| \Leftrightarrow\)

\(\Leftrightarrow |x+1|<1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|\)

equivale a

\(x+1>-(1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|)\ \wedge \ x+1<1/6.|7x+3|+1/6.|3-x|\)

multiplicando tudo por 6

\(6x+6>-|7x+3|-|3-x|\ \wedge \ 6x+6<|7x+3|+|3-x|\)

repare que a expressão que tinha 3 módulos passou a duas, cada uma tendo apenas dois módulos

\(6x+6+|7x+3|>-|3-x|\ \wedge \ 6x+6-|7x+3|<|3-x|\)

\(|3-x|>-6x-6-|7x+3| \ \wedge \ |3-x|>6x+6-|7x+3|\)

então voltando a dividir...

\(\left(3-x>-6x-6-|7x+3|\ \vee \ 3-x<6x+6+|7x+3|\right) \ \wedge \ \left(3-x>6x+6-|7x+3|\ \vee \ 3-x<-6x-6+|7x+3|\right)\)

agora é continuar e voltar a dividir cada um dos módulos.
Cada expressão vai-se dividindo em dois, e por aí sucessivamente

Considerando que tem três módulos na equação no final ficará com \(2^3=8\) inequações

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João, mais uma vez muitíssimo obrigado. Deu certo aqui. Consegui fazer o restante. Desculpe-me por qualquer transtorno.

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sempre às ordens

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