Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Alguém me salva? rs.
É necessário usar aquela definição de épsilons e deltas.

respondemos já a vários exercícios desses aqui no passado

ora veja

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João Pimentel Ferreira
 
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Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
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Então João P. Ferreira, nenhum desses me ajudou, porque são todos de limites, e limites básicos. Eu precisaria pela definição de CONTINUIDADE, e exatamente esse exercício. Outros eu consigo fazer, mas esse que entra uma função fracionária não consigo.

Limite e continuidade é a mesma coisa, ou melhor, uma função ter limite no ponto e essa função ser contínua nesse ponto, são conceitos equivalentes

ou seja, vc quer demonstrar que existe \(L=\lim_{x \to 2} 1+1/x\)

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João Pimentel Ferreira
 
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Sim, ok, mesmo pensando por esse lado não consigo resolver pela definição. Seja a definição de limite, ou continuidade, na hora de encontrar um certo delta não consigo achar alguma relação e obter ele. Já resolvi vários exercício pela definição, mas todos que entram uma fração não consigo.

\(\lim_{x \to p} f(x) = L\)

equivale a

\(\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta> 0 \ : \ | x - p | < \delta \Longrightarrow | f(x) - L | < \epsilon\)

ou seja no seu caso \(L\) deverá ser \(5/2\)

\(\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta> 0 \ : \ | x - 2 | < \delta \Longrightarrow | x+1/x - 5/2 | < \epsilon\)

\(\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta> 0 \ : \ | x - 2 | < \delta \Longrightarrow \left| \frac{x^2-5/2x+1}{x} \right| < \epsilon\)

\(\forall \epsilon > 0 \ \exists \delta> 0 \ : \ | x - 2 | < \delta \Longrightarrow \left| \frac{(x-2)(x-1/2)}{x} \right| < \epsilon\)

\(\left|\frac{(x-2)(x-1/2)}{x}\right| = \frac{|x-2||x-1/2|}{|x|}=|x-2|\frac{|x-1/2|}{|x|}<|x-2|\frac{|x|+1/2}{|x|}=|x-2|(1+\frac{1}{2|x|})\)

não sei se este é o caminho, confesso que tamb'em estou um pouco perdido

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é justamente ai que eu travo em todos os que tem fração, não consigo achar uma relação e tirar o delta.

Em primeiro lugar temos de e(s/n)colher \(\delta\) de modo que \(|x-2|<\delta\) implique que \(1+\frac{1}{2|x|}\) seja limitado. Por exemplo, se tomarmos \(\delta \leq 1\) (ou outro valor positivo estritamente menor que 2) temos \(|x-2|<\delta \leq 1 \Rightarrow |x|\geq 2-|x-2|>1\) logo \(1+\frac{1}{2|x|}< \frac{3}{2}\).
Feito isto, temos que para qualquer \(\varepsilon >0\) podemos escolher \(\delta =\min\left\{1,\frac{2\varepsilon}{3}\right\}\) que é satisfeita a condição:

\(|x-2|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(2)|<\varepsilon\)