Fórum de Matemática
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Queria saber como posso resolver a seguinte questão:

Se a taxa de uma aplicação é de 150% a.a, quanto tempo será necessário para dobrar o capital aplicado através de capitalização composta?

eu travo em

m=c(1+1)ⁿ
2c=c(1+1,5)ⁿ
2=2,5ⁿ

Bom, já fez quase tudo

\(2 = 2.5^n \Leftrightarrow
\ln 2 = \ln(2.5^n) \Leftrightarrow
\ln 2 = n \ln 2.5 \Leftrightarrow
n= \frac{\ln 2}{\ln 2.5}\approx 0.756471\)

Mas num concurso como vou saber log de 2 e 2,5?

No caso desta aplicação, o capital mais do que duplica na primeira capitalização ( Se a taxa fosse 100% duplicaria...). Assim, na verdade, a solução será n =1 já que os juros só vencem no final de cada período.

No regime de capitalização composta, o montante de uma aplicação é dado por:
M=C(1+i)^n (1)
Como o capital C deve dobrar ao final da aplicação, devemos ter M=2.C que substituindo em (1) resulta:2.C = C(1+i)^n ==> 2 = (1+i)^n (2) (dividimos os dois membros por C)
i = 150% a.a ==> 12,5% a.m. e 12,5% = 12,5/100 = 0,125
Substituindo i = 0,125 em (2), teremos: 2 = 1,125^n (3). Aqui, o único jeito de calcular n é usando logaritmos. Devemos lembrar que log(b^n) = n.logb, em qualquer base.
Então, aplicando log nos dois membros de (3), teremos: log2=log1,125^n ==> log2=n.log1,125 ==> n = log2/log1,125 ==> n = 5,885 meses aproximadamente 5 meses e 26,5 dias.
Exemplo:
C = R$5.000,00
M = R$5.000,00 x 1,125^5,885 = R$10.000,00

No caso de um concurso, ou a Escola permite o uso de calculadora ou o uso de Tábua de Logaritmos, coisa que muita gente nunca viu.

Espero ter ajudado.