Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal,

Após um período de descanso, retomei meus estudos. Segue o exercício que não consegui solucionar.

Enunciado: Prove que \(\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}\) é racional.

Penso que ambos os radicandos são o desenvolvimento de uma soma de cubos e de uma diferença de cubos, respectivamente. No entanto, não consigo encontrar os valores para cancelar com a raiz e, em seguida, somar os números, provando que a expressão é racional.

Grato.

Com a finalidade de exemplificar, penso que o raciocínio para este exercício seja o mesmo que o do exercício a seguir.

Enunciado: simplifique \(\sqrt{7+4\sqrt{3}}\)

Observa-se o produto notável denominado quadrado da soma.

\(\sqrt{2^2+2.2\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}\)

\(\sqrt{(2+\sqrt{3})^2}\)

\(2+\sqrt{3}\)

Olá vestibulando,
boa tarde!
Como sabes, uma questão sempre apresenta mais de uma resolução. A meu ver, fiz pela forma mais difícil/complicada! [risos]

\(\sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = k\)

\(\left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \right )^3 + \left ( \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right )^3 = k^3\)

\((20 + \cancel{14\sqrt{2}}) + 3 \times \left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \right )^2 \times \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} + 3 \times \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} \times \left ( \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right )^2 + (20 - \cancel{14\sqrt{2}}) = k^3\)

\(40 + 3\sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})^2(20 - 14\sqrt{2})} + 3\sqrt[3]{(20 + 14\sqrt{2})(20 - 14\sqrt{2})^2} = k^3\)

\(40 + 3\sqrt[3]{8(20 + 14\sqrt{2})} + 3\sqrt[3]{8(20 - 14\sqrt{2})} = k^3\)

\(3 \times 2 \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + 3 \times 2 \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} = k^3 - 40\)

\(6 \left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right ) = k^3 - 40\)

\(6 \underbrace{\left ( \sqrt[3]{20 + 14\sqrt{2}} + \sqrt[3]{20 - 14\sqrt{2}} \right )}_{k} = k^3 - 40\)

\({k}^3 - {6}k - {40} = 0\)

\((k - 4)(k^2 + 4k + 10) = 0\)

\(\fbox{k = 4}\)

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Daniel Ferreira
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Danjr5,

Primeiramente, muito obrigado pela sua brilhante resolução!

No entanto, resta-me uma dúvida. Como fatorou as três últimas linhas? Provavelmente, através do dispositivo de Briot-Ruffini, mas não me recordo como ele funciona. Poderia me ajudar novamente? Porque o fator k-4?

Grato.

Vestibulando, pelos sinais da equação pude deduzir que se houvesse uma raiz ela seria positiva, então, fui atribuindo valores a \(k\). Depois efetuei uma divisão...

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Daniel Ferreira
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Desculpe-me pela ignorância, mas a dúvida persiste. Não consigo enxergar a fatoração.

Daniel,

Ao ler e reler sua dica, testei os valores 1, 2, 3 e 4 para k. Encontrei no valor 4 uma raiz para a equação.

Logo,

\(k-4=0\)

\(k=4\)

Pelo dispositivo de Briot-Ruffini, tem-se no anexo:



Agora a dúvida é: se temos k³, não teríamos três soluções? No caso 1 real e 2 imaginárias?

As outra - raízes - são complexas!

E, o fato de uma das raízes ser racional, já satisfaz o enunciado!

Poderíamos, também, ter encontrado as raízes de uma forma mais elegante: Teorema das Raízes

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Daniel Ferreira
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Dan,

De acordo com o teorema, p seria divisor do termo independente e q seria divisor do coeficiente dominante?

No caso,

\(p=\left \{ \pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8;\pm 10;\pm 20;\pm 40 \right \}\)

\(q=\left \{ \pm 1 \right \}\)

Logo,

\(\frac{p}{q}=\left \{ \pm 1;\pm 2;\pm 4;\pm 8;\pm 10;\pm 20;\pm 40 \right \}\)

A interpretação seria: todos os valores são possíveis raízes reais para a equação. Em seguida, deveria testar uma por uma até encontrar todas as raízes reais?

Perfeito!

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Daniel Ferreira
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