Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

dá para calcular este limite sem utilizar a regra de cauchy?
\(\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{ln(3x+1)}{2x}\)

Sim, utilizando os limites "notáveis". Sabemos por exemplo que

\(\lim_{u \to + \infty} \frac{\ln u}{u} = 0\)

Neste caso,

\(\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(3x+1)}{2x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(3x+1)}{3x+1} \cdot \frac{3x+1}{2x} = \lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(3x+1)}{3x+1} \cdot \lim_{x\to +\infty} \frac{3x+1}{2x} = 0 \cdot \frac 32 = \mathrm{0}\)

Obs: Utilizámos o limite notável com u = 3x+1.

\(\lim_{x \to +\infty }\frac{ln(3x+1)}{x}*\frac{1}{2}\)
Mudança de variável:
3x+1=y
x=(y-1)/3

\(\lim_{y \to +\infty }\frac{lny}{\frac{y-1}{3}}*\frac{1}{2}=\lim_{y \to +\infty }\frac{lny}{y-1}*\frac{3}{2}=\lim_{y \to +\infty }\frac{lny}{y}*\frac{y}{y-1}*\frac{3}{2}=0*\frac{3}{2}\lim_{y \to +\infty }\frac{y}{y-1}=0*\lim_{y \to +\infty }\frac{y}{y}=0*1=0\)
Notas: Como \(\lim_{y \to +\infty }\frac{y}{y-1}\) é uma indeterminação \(\frac{\infty }{\infty }\), há um teorema que diz se usa só o termo de maior grau no numerador e denominador e \(\lim_{y \to +\infty }\frac{lny}{y}\) é um limite notável que dá 0.

Como é que Sobolev chegou a 3/2?

O resultado final é zero... 3/2 é o valor de um dos limites, mas está multiplicado por zero.