Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Olá pessoal, bom dia.
Não estou conseguindo resolver os limites abaixo. Alguém poderia me ajudar?

lim x->pi/2 (1-senx)/(pi/2 - x).

lim x->pi(pela direita) (senx)/(x - pi)

Obrigada!
Camila.

Olá :D


\(\lim_{ x \to \frac{\pi}{2}} \; \frac{1-senx}{\frac{\pi}{2} - x}\)


faça a substituição : \(u=\frac{\pi}{2} - x \;\; \Leftrightarrow \;\; x=\frac{\pi}{2}-u \;\;\; \;\; x \to \frac{\pi}{2} \;\; , \;\; u \to 0\)



\(\lim_{ u \to 0} \; \frac{1-\left(sen\left(\frac{\pi}{2} - u \right) \right)}{u}\)



\(\lim_{ u \to 0} \; \frac{1-( sen\left( \frac{\pi}{2} \right)*cosu-senu*cos \left( \frac{\pi}{2}) )}{u}\)



\(\lim_{ u \to 0} \; \frac{1-cosu}{u}\)


\(\lim_{ u \to 0} \; \frac{(1-cosu)*(1+cosu)}{u(1+cosu)}\)


\(\lim_{ u \to 0} \; \frac{sen^{2}u}{u(1+cosu)}\)


\(\lim_{ u \to 0} \; \frac{senu}{u}*\frac{senu}{1+cosu}=1*\frac{0}{1+1}=0\)



Tente fazer o outro, se tiver dúvidas pode postar, é interessante usar o Latex , pois permite escrever fórmulas matemáticas.

Ah muito obrigada!!
Entendi sim e consegui fazer a outra usando substituição também.

Daí lembrei uma outra forma e deu certo também: fazendo pelo Teorema de L'Hôpital. Consegui fazer as duas questões utilizando o Teorema e deu o mesmo resultado de quando fiz por substituição.
Fiz assim:

Exemplo 1)
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{1 - senx}{\frac{\pi}{2} - x}\)

Fazendo a derivada:

\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{(1 - senx)'}{(\frac{\pi}{2} - x)'} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2} } \frac{- cosx}{-1} = \frac{-cos(\frac{\pi}{2})}{-1} = 0.\)

Estaria correto assim também (Fazendo por L'Hôpital)?

E muito obrigada pela dica de usar o Latex, fica bem melhor mesmo.
Nunca usei, vou aprendendo aos poucos.

sim, está correto