Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde!

\(\frac{\sqrt[3]{x^2}}{1 + \sqrt[3]{x^2}}\)

\(\LARGE y=\frac{x^{\frac{2}{3}}}{1+x^{\frac{2}{3}}}\)



\(\LARGE y=\frac{\left(x^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}*\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}*\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}}{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)



\(\LARGE y=\frac{\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}*\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}*\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}}{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)


\(\LARGE y=\frac{\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}*\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-\frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3}}{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)

Amigão, não entendi porque o segundo termo da derivada, você elevou ao quadrado

\(\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^2\)

Pra mim ele só entrava ao quadrado no denominador.

Vc está correto.Editei minha resposta.



att e grande abraço

Desculpe a demora para responder mas ainda não consegui entender essa questão!

Primeiro vou falar o gabarito:

\(\frac{2}{\left ( 3\sqrt[3]{x} \right )*\left ( 1 + \sqrt[3]{x}^2 \right )^2}\)

Agora vamos a questão:

\(\LARGE y=\frac{\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}*\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-\frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3}}{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)

Aplicando uma distributiva vamos ter:

\(\LARGE y=\frac{\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}+ \frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3}-\frac{2x^{\frac{1}{3}}}{3}}{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)

Temos dois termos iguais em cima da fração, um positivo e outro negativo, portanto podemos cortá-los, ficando:

\(\LARGE y=\frac{\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3}}{\left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)

Agora invertendo a fração de baixo, vamos ter:

\(\LARGE y=\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3 * \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)

Mas chegando nessa parte, eu não vejo possibilidade de chegar ao mesmo resultado que o gabarito.

Com certeza é algo bobo que não estou sabendo observar, mas poderia me ajudar?

\(\LARGE y=\frac{2x^{-\frac{1}{3}}}{3 * \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)



\(\LARGE y=\frac{2}{3 *x^{\frac{1}{3}} \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)^{2}}\)



\(\LARGE y=\frac{2}{3 *\sqrt[3]{{x}} \left(1+\sqrt[3]{x^2}\right)^{2}}\)



Lembre-se : Os livros geralmente trazem as respostas bem simplificadas, isso faz com que os alunos pensem que suas respostas estão erradas, mas estão corretas.

att