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Os maiores valores de a e b que funcionam são a = 5 e b = 2, pelo que essa soma pode ser calculada de modo explicito... No entanto confesso que fiz "batota" utilizando o Mathematica para dividir sucessivamente por 2 e por 3 até obter divisões não exactas.
Talvez possa ser útil observar que, considerando produtos notáveis, se pode escrever
\(19^{88}-1 = (19^{11}+1)(19^{22}+1)(19^{44}+1)(19^{11}-1)\)
Pelo que reduzimos a análise de divisibilidade por 2 e 3 a números "mais pequenos". Além disso, como qualquer potência de 19 é ímpar, todos os factores da ultima expressão são divisíveis por dois, sendo que o primeiro ºé divisível por quatro. Espero que ajude.
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